高二数学期终试题参考答案

高二数学期终试题参考答案一、选择题：123456789101112BDBAACABCCCD二．填空题13．(3,3)14．215．183516．5%17．9125118．42019．4820．1781三．解答题21．（本小题满分12分）已知复数Z满足22,ZZ的虚部为2，（I）求Z；（II）设22,,ZZZZ在复平面对应的点分别为A，B，C，求ABC的面积.解：（I）设(,)ZxyixyR由题意得2222()2Zxyxyxyi222(1)21(2)xyxy故20,xyxy[3分]将其代入（2）得2221xx故11xy或11xy故1Zi或1Zi[6分]（II）当1Zi时，222,1ZiZZi所以(1,1),(0,2),(1,1)ABC12,1212ABCACS[9分]当1Zi时，222,13ZiZZi，(1,1),(0,2),(1,3)ABC11212ABCS[12分]22．（本小题满分14分）有4名同学准备利用假期到4个村庄进行社会实践调查，每个人都只去一个村庄，他们每个人事前并不知道其他同学的去向，问：⑴共有多少种不同的去向结果？⑵如果恰有一个村庄没有人去，有多少种不同的去向结果？⑶如果恰有两个村庄没有人去，有多少种不同的去向结果？解：⑴设这四名同学为甲、乙、丙、丁，则甲可去任一个村庄，有4种去向，同理其他三人也各有4种，由分步计数原理知，共有25644种去向结果．[3分]⑵恰有一个村庄没有人去，则4个村庄只有3个村庄有人去，各村庄去的人数只可能是1、1、2．先从4人中选取2人同去一个村庄，有24C种方法，然后与其余2个人看成3个小组，分别到4个村庄中的3个村庄，有34A种结果，则分步计数原理知，共有1443424AC种不同的去向结果．[7分]⑶恰有两个村庄没有人去，也就是4个人到2个村庄，从人数看有两种不同的结果：①每个村庄去两个人．先从4个村庄中选取有人去的2个村庄，有24C种结果，把4个人平均分成2组后，分到这2个村庄去有2224CC种结果，由分步计数原理知，共有222424CCC=36种结果；[10分]②一个村庄去3个人，另一个村庄去1个人，先把人分成两组，一组1人，一组3人，有14C种结果，再选择两组人去的村庄有24A种结果，由分步计数原理知，共有482414AC种结果．[13分]由分类计数原理知，共有2414222424ACCCC=84种不同的去向结果．[14分]23．（本小题满分14分）甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数的数学期望和方差解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为,AB新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆设甲独立解出此题的概率为1P，乙为2P新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆则12()0.6,()PAPPBP1212122222()1()1(1)(1)0.920.60.60.920.40.320.8PABPABPPPPPPPPPP则即[5分](2)(0)()()0.40.20.08(1)()()()()0.60.20.40.80.44(2)()()0.60.80.48:PPAPBPPAPBPAPBPPAPB的概率分布为012P0.080.440.48[8分]()00.0810.4420.480.440.961.4E[11分]22222()(01.4)0.08(11.4)0.44(21.4)0.480.15680.07040.17280.4)()()2.361.960.4VEE或利用V([14分]24．（本小题满分14分）如图，在棱长为1的正方体1111DCBAABCD中，GFE,,分别为11BA、11CB、11DC的中点．（1）求异面直线AG与BF所成角的余弦值；（2）求证：//AG平面BEF；（3）试在棱1BB上找一点M，使DM⊥平面BEF，并证明你的结论．解：（1）以D为坐标原点，1,,DDDCDA分别作为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，则)0,0,1(A，)0,1,1(B，)1,21,1(E，)1,1,21(F，)1,21,0(G[1分]∴)1,21,1(AG，)1,0,21(BF[2分]∴552252323,cosBFAG故异面直线AG与BF所成角的余弦值为552[4分]（2）∵)0,21,21(EF，)1,0,21(BF[5分]而)1,21,1(AG，∴BFEFAG[7分]故AG与平面BEF共面，又AG不在平面BEF内∴//AG平面BEF[9分]（3）设),1,1(mM，则),1,1(mDM由0,0BFDMEFDM[11分]∴21021mm[13分]M为棱1BB的中点时，DM⊥平面BEF。[14分]25．（本小题满分16分）在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=22，M、N分别为AB、SB的中点.（1）证明：AC⊥SB；（2）求二面角N—CM—B的余弦值（3）求点B到平面CMN的距离.解：（1）取AC中点O，连结OS、OB.∵SA=SC，BA=BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO.[2分]∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.如图所示建立空间直角坐标系O－xyz.则A（2，0，0），C（－2，0，0），S（0，0，2），B（0，23，0）.∴AC=（－4，0，0），BS=（0，－23，2），∵AC·BS=（－4，0，0）·（0，－23，2）=0，∴AC⊥BS.[4分]（可用线面垂直证AC⊥SB）（2）由（Ⅰ）得M（1，3，0），)0,3,3(CM，11(2,0,2)(1,0,1)22MNAS，[6分]设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则3301,3,1,0,nCMxyxyznMNxz取∴可取n=(－1，3，－1)，又OS=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量，[9分]∴cos(n，OS)=||||OSnOSn=5.5∴二面角N－CM－B的余弦值为.55[12分]（3）由（Ⅰ）（Ⅱ）得CB=（2，23，0），n=（－1，3，－1）为平面CMN的一个法向量，∴点B到平面CMN的距离d=||45.5||nCBn[16分]26．（本小题满分14分）ABEGFCD1A1B1C1D细菌在一定条件下会互相突变。现有甲、乙两种细菌，每一分钟甲种细菌突变为乙种细菌的概率为0.4，乙种细菌突变为甲种细菌的概率为0.7，而未突变的细菌还是原来的细菌。已知开始时有甲种细菌300万个，乙种细菌480万个。（1）试写出细菌突变的转换矩阵；（2）3分钟后甲种和乙种细菌各是多少个？（3）ｎ分钟后甲种和乙种细菌各是多少个，并讨论当ｎ越来越大时，两种细菌个数的变化趋势。．解：（1）细菌突变的转换矩阵是0.40.70.60.3；[3分]（2）设0.40.70.60.3M，M的特征值1=1对应的特征向量176，特征值20.3对应的特征向量211，[7分]设300480，则1230071601206012048061，[9分]三分钟后甲种和乙种细菌为333331212,(60120)60120MMMMM＝33311221260120()60120(0.3)＝33607120(0.3)423357606120(0.3)，即甲种细菌个数约为423万个，乙种细菌个数约为357万个。[12分]（3）ｎ分钟后甲种和乙种细菌为1212,(60120)60120nnnnnMMMMM＝11221260120()60120(0.3)nnn＝607120(0.3)606120(0.3)nn，当ｎ越来越大时，420360nM，即甲种细菌个数趋于420万个，乙种细菌个数趋于360万个。[14分]27．已知等比数列{}na的首项为31232mmmCA，公比是421()4xx展开式中的第二项.（1）求m的值；（2）用nx和表示数列{}na的通项；（3）若数列{}na的前n项和为nS，用nx和表示1nknkkCS；解：（1）311232233,21mmmmmaCAm即3,33mmm[3分]（2）由421()4xx知T21412421()4TCxxx1nnax[6分]（3）当1x时，nsn，[7分]设nA1nknkkCS，则12323nnnnnnACCCnC又1210(1)(2)0nnnnnnnnnAnCnCnCCC0122()2nnnnnnnAnCCCCn112nknnkkCSn。[11分]（或用11kknnkCnC化简）当1x时，11nnxsx，[12分]23123111111111nnknnknnnnkxxxxCSCCCCxxxx123122331()()1nnnnnnnnnnnCCCCxCxCxCxCx12233121(11)112(1)1nnnnnnnnnxCxCxCxCxxx[16分]