高二数学选修12-2-1双曲线及其标准方程

2.2.1双曲线及其标准方程一、选择题1．平面内到两定点E、F的距离之差的绝对值等于|EF|的点的轨迹是()A．双曲线B．一条直线C．一条线段D．两条射线[答案]D2．已知方程x21＋k－y21－k＝1表示双曲线，则k的取值范围是()A．－1k1B．k0C．k≥0D．k1或k－1[答案]A[解析]由题意得(1＋k)(1－k)0，∴(k－1)(k＋1)0，∴－1k1.3．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为()A．双曲线的一支B．圆C．抛物线D．双曲线[答案]A[解析]设动圆半径为r，圆心为O，x2＋y2＝1的圆心为O1，圆x2＋y2－8x＋12＝0的圆心为O2，由题意得|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，∴|OO2|－|OO1|＝r＋2－r－1＝1|O1O2|＝4，由双曲线的定义知，动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支．4．以椭圆x23＋y24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是()A.x23－y2＝1B．y2－x23＝1C.x23－y24＝1D.y23－x24＝1[答案]B[解析]由题意知双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，双曲线方程为y2－x23＝1.5．“ab0”是“曲线ax2＋by2＝1为双曲线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]C[解析]ab0⇒曲线ax2＋by2＝1是双曲线，曲线ax2＋by2＝1是双曲线⇒ab0.6．已知双曲线的两个焦点为F1(－5，0)、F2(5，0)，P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则该双曲线的方程是()A.x22－y23＝1B.x23－y22＝1C.x24－y2＝1D．x2－y24＝1[答案]C[解析]∵c＝5，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，∴4a2＝4c2－4＝16，∴a2＝4，b2＝1.7．椭圆x24＋y2m2＝1与双曲线x2m2－y22＝1有相同的焦点，则m的值是()A．±1B．1C．－1D．不存在[答案]A[解析]验证法：当m＝±1时，m2＝1，对椭圆来说，a2＝4，b2＝1，c2＝3.对双曲线来说，a2＝1，b2＝2，c2＝3，故当m＝±1时，它们有相同的焦点．直接法：显然双曲线焦点在x轴上，故4－m2＝m2＋2.∴m2＝1，即m＝±1.8．已知点F1(－4,0)和F2(4,0)，曲线上的动点P到F1、F2距离之差为6，则曲线方程为()A.x29－y27＝1B.x29－y27＝1(y0)C.x29－y27＝1或x27－y29＝1D.x29－y27＝1(x0)[答案]D[解析]由双曲线的定义知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x29－y27＝1(x0)9．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是()A．16B．18C．21D．26[答案]D[解析]|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.10．若椭圆x2m＋y2n＝1(mn0)和双曲线x2a－y2b＝1(a0，b0)有相同的焦点，P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为()A．m－aB．m－bC．m2－a2D.m－b[答案]A[解析]设点P为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2m，由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝2a.∴|PF1|＝m＋a，|PF2|＝m－a，∴|PF1|·|PF2|＝m－a.二、填空题11．双曲线的焦点在x轴上，且经过点M(3,2)、N(－2，－1)，则双曲线标准方程是________．[答案]x273－y275＝1[解析]设双曲线方程为：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)又点M(3,2)、N(－2，－1)在双曲线上，∴9a2－4b2＝14a2－1b2＝1，∴a2＝73b2＝75.12．过双曲线x23－y24＝1的焦点且与x轴垂直的弦的长度为________．[答案]833[解析]∵a2＝3，b2＝4，∴c2＝7，∴c＝7，该弦所在直线方程为x＝7，由x＝7x23－y24＝1得y2＝163，∴|y|＝433，弦长为833.13．如果椭圆x24＋y2a2＝1与双曲线x2a－y22＝1的焦点相同，那么a＝________.[答案]1[解析]由题意得a0，且4－a2＝a＋2，∴a＝1.14．一动圆过定点A(－4,0)，且与定圆B：(x－4)2＋y2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．[答案]x24－y212＝1(x≤－2)[解析]设动圆圆心为P(x，y)，由题意得|PB|－|PA|＝4|AB|＝8，由双曲线定义知，点P的轨迹是以A、B为焦点，且2a＝4，a＝2的双曲线的左支．其方程为：x24－y212＝1(x≤－2)．三、解答题15．讨论x225－k＋y29－k＝1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．[解析](1)当k9时，25－k0,9－k0，所给方程表示椭圆，此时a2＝25－k，b2＝9－k，c2＝a2－b2＝16，这些椭圆有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．(2)当9k25时，25－k0,9－k0，所给方程表示双曲线，此时，a2＝25－k，b2＝k－9，c2＝a2＋b2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．(3)当k25时，所给方程没有轨迹．16．设双曲线与椭圆x227＋y236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点A的纵坐标为4，求此双曲线的方程．[解析]椭圆x227＋y236＝1的焦点为(0，±3)，由题意，设双曲线方程为：y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，又点A(x0,4)在椭圆x227＋y236＝1上，∴x20＝15，又点A在双曲线y2a2－x2b2＝1上，∴16a2－15b2＝1，又a2＋b2＝c2＝9，∴a2＝4，b2＝5，所求的双曲线方程为：y24－x25＝1.17．已知双曲线x2－y22＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1→·MF2→＝0，求点M到x轴的距离．[解析]解法一：设M(xM，yM)，F1(－3，0)，F2(3，0)，MF1→＝(－3－xM，－yM)，MF2→＝(3－xM，－yM)∵MF1→·MF2→＝0，∴(－3－xM)·(3－xM)＋y2M＝0，又M(xM，yM)在双曲线x2－y22＝1上，∴x2M－y2M2＝1，解(－3－xM)(3－xM)＋y2M＝1x2M－y2M2＝1得yM＝±233，∴M到x轴的距离是|yM|＝233.解法二：连结OM，设M(xM，yM)，∵MF1→·MF2→＝0，∴∠F1MF2＝90°，∴|OM|＝12|F1F2|＝3，∴x2M＋y2M＝3①又x2M－y2M2＝1②由①②解得yM＝±233，∴M到x轴的距离是|yM|＝233.18．在面积为1的△PMN中，tan∠PMN＝12，tan∠MNP＝－2，建立适当坐标系．求以M、N为焦点且过点P的双曲线方程．[解析]解法一：以MN所在直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立直角坐标系．设P(x0，y0)，M(－c,0)，N(c,0)(y00，c0)．(如图)则y0x0＋c＝12，y0x0－c＝2，12·2c·y0＝1.解得x0＝536，y0＝233，c＝32.设双曲线方程为x2a2－y234－a2＝1，将点P＝536，233代入，可得a2＝512.∴所求双曲线方程为x2512－y213＝1.解法二：以MN所在直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立直角坐标系，作PA⊥x轴于A点．设P(x0，y0)，M(－c,0)，N(c,0)，(y00，c0)(如图所示)因为tan∠MNP＝－2，所以tan∠xNP＝2，故PAAN＝2，PAAM＝12，即AN＝y02，AM＝2y0，所以2c＝32y0，即y0＝43c，又因为S△PMN＝1，所以12MN·PA＝1，即12×2c×43c＝1，∴c＝32，而2a＝PM－PN＝y20＋(2y0)2－y20＋12y02＝5y0－52y0＝153，∴a＝156，故所求双曲线方程为x2512－y213＝1.