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2.2.1双曲线及其标准方程一、选择题1.平面内到两定点E、F的距离之差的绝对值等于|EF|的点的轨迹是()A.双曲线B.一条直线C.一条线段D.两条射线[答案]D2.已知方程x21+k-y21-k=1表示双曲线,则k的取值范围是()A.-1k1B.k0C.k≥0D.k1或k-1[答案]A[解析]由题意得(1+k)(1-k)0,∴(k-1)(k+1)0,∴-1k1.3.动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都相外切,则动圆圆心的轨迹为()A.双曲线的一支B.圆C.抛物线D.双曲线[答案]A[解析]设动圆半径为r,圆心为O,x2+y2=1的圆心为O1,圆x2+y2-8x+12=0的圆心为O2,由题意得|OO1|=r+1,|OO2|=r+2,∴|OO2|-|OO1|=r+2-r-1=1|O1O2|=4,由双曲线的定义知,动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支.4.以椭圆x23+y24=1的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是()A.x23-y2=1B.y2-x23=1C.x23-y24=1D.y23-x24=1[答案]B[解析]由题意知双曲线的焦点在y轴上,且a=1,c=2,∴b2=3,双曲线方程为y2-x23=1.5.“ab0”是“曲线ax2+by2=1为双曲线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[答案]C[解析]ab0⇒曲线ax2+by2=1是双曲线,曲线ax2+by2=1是双曲线⇒ab0.6.已知双曲线的两个焦点为F1(-5,0)、F2(5,0),P是此双曲线上的一点,且PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=2,则该双曲线的方程是()A.x22-y23=1B.x23-y22=1C.x24-y2=1D.x2-y24=1[答案]C[解析]∵c=5,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,∴(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|=4c2,∴4a2=4c2-4=16,∴a2=4,b2=1.7.椭圆x24+y2m2=1与双曲线x2m2-y22=1有相同的焦点,则m的值是()A.±1B.1C.-1D.不存在[答案]A[解析]验证法:当m=±1时,m2=1,对椭圆来说,a2=4,b2=1,c2=3.对双曲线来说,a2=1,b2=2,c2=3,故当m=±1时,它们有相同的焦点.直接法:显然双曲线焦点在x轴上,故4-m2=m2+2.∴m2=1,即m=±1.8.已知点F1(-4,0)和F2(4,0),曲线上的动点P到F1、F2距离之差为6,则曲线方程为()A.x29-y27=1B.x29-y27=1(y0)C.x29-y27=1或x27-y29=1D.x29-y27=1(x0)[答案]D[解析]由双曲线的定义知,点P的轨迹是以F1、F2为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,其方程为:x29-y27=1(x0)9.已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,在左支上过F1的弦AB的长为5,若2a=8,那么△ABF2的周长是()A.16B.18C.21D.26[答案]D[解析]|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,∴|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16,∴|AF2|+|BF2|=16+5=21,∴△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.10.若椭圆x2m+y2n=1(mn0)和双曲线x2a-y2b=1(a0,b0)有相同的焦点,P是两曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|的值为()A.m-aB.m-bC.m2-a2D.m-b[答案]A[解析]设点P为双曲线右支上的点,由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2m,由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a.∴|PF1|=m+a,|PF2|=m-a,∴|PF1|·|PF2|=m-a.二、填空题11.双曲线的焦点在x轴上,且经过点M(3,2)、N(-2,-1),则双曲线标准方程是________.[答案]x273-y275=1[解析]设双曲线方程为:x2a2-y2b2=1(a0,b0)又点M(3,2)、N(-2,-1)在双曲线上,∴9a2-4b2=14a2-1b2=1,∴a2=73b2=75.12.过双曲线x23-y24=1的焦点且与x轴垂直的弦的长度为________.[答案]833[解析]∵a2=3,b2=4,∴c2=7,∴c=7,该弦所在直线方程为x=7,由x=7x23-y24=1得y2=163,∴|y|=433,弦长为833.13.如果椭圆x24+y2a2=1与双曲线x2a-y22=1的焦点相同,那么a=________.[答案]1[解析]由题意得a0,且4-a2=a+2,∴a=1.14.一动圆过定点A(-4,0),且与定圆B:(x-4)2+y2=16相外切,则动圆圆心的轨迹方程为________.[答案]x24-y212=1(x≤-2)[解析]设动圆圆心为P(x,y),由题意得|PB|-|PA|=4|AB|=8,由双曲线定义知,点P的轨迹是以A、B为焦点,且2a=4,a=2的双曲线的左支.其方程为:x24-y212=1(x≤-2).三、解答题15.讨论x225-k+y29-k=1表示何种圆锥曲线,它们有何共同特征.[解析](1)当k9时,25-k0,9-k0,所给方程表示椭圆,此时a2=25-k,b2=9-k,c2=a2-b2=16,这些椭圆有共同的焦点(-4,0),(4,0).(2)当9k25时,25-k0,9-k0,所给方程表示双曲线,此时,a2=25-k,b2=k-9,c2=a2+b2=16,这些双曲线也有共同的焦点(-4,0),(4,0).(3)当k25时,所给方程没有轨迹.16.设双曲线与椭圆x227+y236=1有共同的焦点,且与椭圆相交,在第一象限的交点A的纵坐标为4,求此双曲线的方程.[解析]椭圆x227+y236=1的焦点为(0,±3),由题意,设双曲线方程为:y2a2-x2b2=1(a0,b0),又点A(x0,4)在椭圆x227+y236=1上,∴x20=15,又点A在双曲线y2a2-x2b2=1上,∴16a2-15b2=1,又a2+b2=c2=9,∴a2=4,b2=5,所求的双曲线方程为:y24-x25=1.17.已知双曲线x2-y22=1的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且MF1→·MF2→=0,求点M到x轴的距离.[解析]解法一:设M(xM,yM),F1(-3,0),F2(3,0),MF1→=(-3-xM,-yM),MF2→=(3-xM,-yM)∵MF1→·MF2→=0,∴(-3-xM)·(3-xM)+y2M=0,又M(xM,yM)在双曲线x2-y22=1上,∴x2M-y2M2=1,解(-3-xM)(3-xM)+y2M=1x2M-y2M2=1得yM=±233,∴M到x轴的距离是|yM|=233.解法二:连结OM,设M(xM,yM),∵MF1→·MF2→=0,∴∠F1MF2=90°,∴|OM|=12|F1F2|=3,∴x2M+y2M=3①又x2M-y2M2=1②由①②解得yM=±233,∴M到x轴的距离是|yM|=233.18.在面积为1的△PMN中,tan∠PMN=12,tan∠MNP=-2,建立适当坐标系.求以M、N为焦点且过点P的双曲线方程.[解析]解法一:以MN所在直线为x轴,MN的中垂线为y轴建立直角坐标系.设P(x0,y0),M(-c,0),N(c,0)(y00,c0).(如图)则y0x0+c=12,y0x0-c=2,12·2c·y0=1.解得x0=536,y0=233,c=32.设双曲线方程为x2a2-y234-a2=1,将点P=536,233代入,可得a2=512.∴所求双曲线方程为x2512-y213=1.解法二:以MN所在直线为x轴,MN的中垂线为y轴建立直角坐标系,作PA⊥x轴于A点.设P(x0,y0),M(-c,0),N(c,0),(y00,c0)(如图所示)因为tan∠MNP=-2,所以tan∠xNP=2,故PAAN=2,PAAM=12,即AN=y02,AM=2y0,所以2c=32y0,即y0=43c,又因为S△PMN=1,所以12MN·PA=1,即12×2c×43c=1,∴c=32,而2a=PM-PN=y20+(2y0)2-y20+12y02=5y0-52y0=153,∴a=156,故所求双曲线方程为x2512-y213=1.
本文标题:高二数学选修12-2-1双曲线及其标准方程
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