高二数学选修13-3-1函数的单调性与导数

3.3.1函数的单调性与导数一、选择题1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，则f(x)为增函数的一个充分条件是()A．b2－4ac＞0B．b＞0，c＞0C．b＝0，c＞0D．b2－3ac＞0[答案]C2．函数f(x)＝2x2－lnx的单调递增区间是()A．(0，12)B．(0，24)C．(12，＋∞)D．(－12，0)及(0，12)[答案]C[解析]函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－1x，令f′(x)0，得x12，∴函数f(x)在12，＋∞上单调递增．3．(2009·广东文，8)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)[答案]D[解析]考查导数的简单应用．f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)0，解得x2，故选D.4．函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是()A.－π，－π2和0，π2B.－π2，0和0，π2C.－π，－π2和π2，πD.－π2，0和π2，π[答案]A[解析]y′＝xcosx，当－πx－π2时，cosx0，∴y′＝xcosx0，当－π2x0时，cosx0，∴y′＝xcosx0.当0xπ2时，cosx0，∴y′＝xcosx0.5．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则()A．a≤0B．a1C．a2D．a≤13[答案]A[解析]f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，即a≤0.6．已知a0，函数f(x)＝－x3＋ax在[1，＋∞)上是单调减函数，则a的最大值为()A．1B．2C．3D．4[答案]C[解析]f′(x)＝－3x2＋a≤0，∴a≤3x2.∴a≤3.7．设f(x)在(a，b)内可导，则f′(x)0是f(x)在(a，b)上单调递减的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A8．若函数y＝x2－2bx＋6在(2,8)内是增函数，则()A．b≤2B．b＜2C．b≥2D．b＞2[答案]A[解析]函数y＝x2－2bx＋6的对称轴为x＝b，要使函数在(2,8)内是增函数，应有b≤2成立．9．(2009·湖南文，7)若函数y＝f(x)的导函数．．．在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()[答案]A[解析]考查导函数的基本概念及导数的几何意义．∵导函数f′(x)是增函数，∴切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大，故选A.[点评]B图中切线斜率逐渐减小，C图中f′(x)为常数，D图中切线斜率先增大后减小．10．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为()[答案]D[解析]函数y＝f(x)在区间(－∞，0)上单调增，则导函数y＝f′(x)在区间(－∞，0)上函数值为正，排除A、C，原函数y＝f(x)在区间(0，＋∞)上先增，再减，最后再增，其导函数y＝f′(x)在区间(0，＋∞)上函数值先正，再负，再正，排除B，故选D.二、填空题11．函数y＝x3－x2－x的单调递增区间为________．[答案](－∞，－13)，(1，＋∞)[解析]∵y′＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)，∴由y′0得，x1或x－13.12．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________．[答案][3，＋∞)[解析]y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax≤0在区间(0,2)内恒成立，即a≥32x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.13．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则m的取值范围是________．[答案]m≥13[解析]因为f(x)＝x3＋x2＋mx＋1在R上单调，所以f′(x)＝3x2＋2x＋m，由题意可知f(x)在R上只能递增，∴Δ＝4－12m≤0.∴m≥13.14．若函数y＝－43x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围________．[答案]a0[解析]y′＝－4x2＋a，若y＝－43x3＋ax有三个单调区间，则方程－4x2＋a＝0应有两个不等实根，故a0.三、解答题15．讨论函数f(x)＝bxx2－1(－1＜x＜1，b≠0)的单调性．[解析]∵f(x)＝bxx2－1(－1x1，b≠0)∴f′(x)＝(bx)′(x2－1)－bx(x2－1)′(x2－1)2＝bx2－b－2bx2(x2－1)2＝－b(1＋x2)(x2－1)2∵－1x1，∴1－x20，(x2－1)20，①当b0时，f′(x)0，∴函数f(x)在(－1,1)上单调递减．②当b0时，f′(x)0，∴函数f(x)在(－1,1)上单调递增．16．已知曲线y＝x3＋3x2＋6x－10，点P(x，y)在该曲线上移动，在P点处的切线设为l.(1)求证：此函数在R上单调递增；(2)求l的斜率的范围．[解析](1)证明：y′＝3x2＋6x＋6＝3(x2＋2x＋1)＋3＝3(x＋1)2＋30恒成立，∴此函数在R上递增．(2)解：由(1)知f′(x)＝3(x＋1)2＋3≥3，∴l的斜率的范围是k≥3.17．已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增函数，求t的取值范围．[解析]f(x)＝a·b＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋tf′(x)＝－3x2＋2x＋t∵函数f(x)在(－1,1)上是增函数∴f′(x)≥0对x∈(－1,1)恒成立∴－3x2＋2x＋t≥0在(－1,1)上恒成立即t≥3x2－2x在(－1,1)上恒成立令g(x)＝3x2－2，x∈(－1,1)∴g(x)∈(－13，5)故要使t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立，只需t≥5即：所求t的取值范围为：t≥518．设函数f(x)＝(ax2－bx)ex(e为自然对数的底数)的图象与直线ex＋y＝0相切于点A，且点A的横坐标为1.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间，并指出在每个区间上的增减性．[解析](1)f′(x)＝(2ax－b)ex＋(ax2－bx)·ex＝[ax2＋(2a－b)x－b]ex，由于f(x)的图象与直线ex＋y＝0相切于点A，点A的横坐标为1，则A(1，－e)，所以f(1)＝－ef′(1)＝－e即(a－b)e＝－e(3a－2b)e＝－e，解得a＝1，b＝2.(2)由a＝1，b＝2得f(x)＝(x2－2x)ex，定义域为(－∞，＋∞)．f′(x)＝(x2－2)ex＝(x－2)(x＋2)ex，令f′(x)0，解得x－2或x2.令f′(x)0，解得－2x2.故函数f(x)在区间(－∞，－2)和(2，＋∞)上分别单调递增，在区间(－2，2)上单调递减．