高二数学选修13-3-2函数的极值与导数函数的最大(小)值与导数

3.3.2函数的极值与导数函数的最大（小）值与导数一、选择题1．设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是()A．必有f′(x0)＝0B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不为0[答案]C[解析]如：y＝|x|，在x＝0时取得极小值，但f′(0)不存在．2．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]C3．函数y＝2－x2－x3的极值情况是()A．有极大值，没有极小值B．有极小值，没有极大值C．既无极大值也无极小值D．既有极大值也有极小值[答案]D[解析]y′＝－3x2－2x＝－x(3x＋2)，当x0或x－23时，y′0，当－23x0时y′0，∴当x＝－23时取极小值，当x＝0时取极大值．4．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]A[解析]由f′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增、再减、再增、最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点．5．下列命题：①一个函数的极大值总比极小值大；②可导函数导数为0的点不一定是极值点；③一个函数的极大值可以比最大值大；④一个函数的极值点可在其不可导点处达到，其中正确命题的序号是()A．①④B．②④C．①②D．③④[答案]B6．函数y＝|x－1|，下列结论中正确的是()A．y有极小值0，且0也是最小值B．y有最小值0，但0不是极小值C．y有极小值0，但不是最小值D．因为y在x＝1处不可导，所以0既非最小值也非极值[答案]A7．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为()A.239B.229C.329D.38[答案]A[解析]f′(x)＝1－3x2＝0，得x＝33∈[0,1]，所以f(x)max＝f33＝239.8．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是()A．极大值为427，极小值为0B．极大值为0，极小值为427C．极大值为0，极小值为－427D．极大值为－427，极小值为0[答案]A[解析]由题意，得f(1)＝0，∴p＋q＝1①f′(1)＝3－2p－q＝0，∴2p＋q＝3③由①②得p＝2，q＝－1.∴f′(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝13或x＝1，f13＝427，f(1)＝0.9．已知函数y＝|x2－3x＋2|，则()A．y有极小值，但无极大值B．y有极小值0，但无极大值C．y有极小值0，极大值14D．y有极大值14，但无极大值[答案]C[解析]作出函数y＝|x2－3x＋2|的图象，由图象知选C.10．设f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是()A．(a，b)B．(a，c)C．(b，c)D．(a＋b，c)[答案]A[解析]f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意，知1、－1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根，1－1＝－2b3a，b＝0.二、填空题11．函数y＝2xx2＋1的极大值为____________，极小值为____________．[答案]－1，－3[解析]y′＝2(1＋x)(1－x)(x2＋1)2，令y′0得－1x1，令y′0得x1或x－1，∴当x＝－1时，取极小值－3，当x＝1时，取极大值－1.12．函数y＝x3－6x＋a的极大值为____________，极小值为____________．[答案]a＋42a－42[解析]y′＝3x2－6＝3(x＋2)(x－2)，令y′0，得x2或x－2，令y′0，得－2x2，∴当x＝－2时取极大值a＋42，当x＝2时取极小值a－42.13．函数y＝x－x3(x∈[0,2])的最小值是________．[答案]－6[解析]y′＝1－3x2，令y′＝0，得x＝±33，f(0)＝0，f(2)＝－6，f－33＝－239，f33＝33－333＝33－39＝239，∴最小值为－6.14．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处取极大值，则常数c的值为________．[答案]6[解析]f(x)＝x(x－c)2＝x3－2cx2＋c2x，f′(x)＝3x2－4cx＋c2，令f′(2)＝0解得c＝2或6.当c＝2时，f′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)，故f(x)在x＝2处取得极小值，不合题意舍去；当c＝6时，f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x2－8x＋12)＝3(x－2)(x－6)，故f(x)在x＝2处取得极大值．三、解答题15．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋11.(1)写出函数的递减区间；(2)讨论函数的极大值或极小值，如有试写出极值．[解析]f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.x变化时，f′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：x(－∞，－1)－1(－1,3)1(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)增极大值减极小值f(3)增f(－1)(1)由表可得函数的递减区间为(－1,3)(2)由表可得，当x＝－1时，函数有极大值为f(－1)＝16；当x＝3时，函数有极小值为f(3)＝－16.16．求下列函数的最值(1)f(x)＝3x－x3(－3≤x≤3)；(2)f(x)＝sin2x－x－π2≤x≤π2.[解析](1)f′(x)＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)．令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1，∴x＝1和x＝－1是函数f(x)在[－3，3]上的两个极值点，且f(1)＝2，f(－1)＝－2.又f(x)在区间端点的取值为f(－3)＝0，f(3)＝－18.比较以上函数值可得f(x)max＝2，f(x)min＝－18.(2)f′(x)＝2cos2x－1.令f′(x)＝0，得cos2x＝12，又x∈－π2，π2，∴2x∈[－π，π]，∴2x＝±π3，∴x＝±π6.∴函数f(x)在－π2，π2上的两个极值分别为fπ6＝32－π6，f－π6＝－32＋π6.又f(x)在区间端点的取值为fπ2＝－π2，f－π2＝π2.比较以上函数值可得f(x)max＝π2，f(x)min＝－π2.17．已知a∈R，讨论函数f(x)＝ex(x2＋ax＋a＋1)的极值点的个数．[解析]f′(x)＝ex(x2＋ax＋a＋1)＋ex(2x＋a)＝ex[x2＋(a＋2)x＋(2a＋1)]．令f′(x)＝0，所以x2＋(a＋2)x＋2a＋1＝0○．(1)当Δ＝(a＋2)2－4(2a＋1)＝a2－4a0，即a0或a4时，设○有两个不同的根x1，x2，不妨设x1x2，所以f′(x)＝ex(x－x1)(x－x2).即f(x)有两个极值点．(2)当Δ＝0，即a＝0或a＝4时，设有两个相等实根x1，所以f′(x)＝ex(x－x1)2≥0，所以f(x)无极值．(3)当Δ0，即0a4时，x2＋(a＋2)x＋2a＋10，所以f′(x)0.故f(x)也无极值．综上所述，当a0或a4时，f(x)有两个极值，当0≤a≤4时f(x)无极值．18．(2010·江西理，19)设函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)－ax(a0)．(提示：[ln(2－x)]′＝－12－x)(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为12，求a的值．[分析]所给函数的非基本函数，故求单调区间和最值可利用导数分析，解题的重点是求导的准确性．及函数定义域的确定．[解析]函数f(x)的定义域为(0,2)，f′(x)＝1x－12－x＋a，(1)当a＝1时，f′(x)＝－x2＋2x(2－x)，所以f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝2－2xx(2－x)＋a0，即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝12.