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第九章系综理论习题9.1证明在正则分布中熵可表为ssskSln其中sEseZ1是系统处在s态的概率。证:)ln(lnZZkS多粒子配分函数)1(1ssEsEeZeZ)2(lnkEkEkkkeeEZ由(1)知sssssEZEZEZeslnln1;lnln代至(2)得ssssssZZZln1ln1lnln1ln;于是ssskZZkSlnlnln习题9.2试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程,内能和熵证:222121;iziyixNissEpppmEeZs符号iiziyixdpdpdpdp符号iiiidzdydxdq2/33)(232332!!!!1222122212222NNNNpppmNNpppmNNpppNmhNVZdpehNVdpehNVdpdqehNZzyxNiiziyixNiiziyixm利用式(9.5.3)VNTkVZZZP1ln1类似求SU,。习题9.3体积内盛有两种组元的单原子混合理想气体,其摩尔数为1n和2n,温度为T。试由正则分布导出混合理想气体的物态方程,内能和熵。解:jjjiiiiiziyixppppppmnndqdpdzdydxdpdpdpehnnZjzjyjxiziyix222222212)(321!!12/3)(321)(2121212!!nnnnnnmhnnVZkTnnPVVkTnnVZP)(ln12121习题9.5利用范氏气体的配分函数,求内能和熵。解:QmNZN2/32!1ZQmNQNNmZUNNN/2!12/3!2ln2/32/312/3drfVNVQQQNNN121212;1)2/3(efefdrfVNQrN121212121;212drfVNVdreVNNTkUdreVNQNNNN12121212122/3;22一般认为drfVN1222较小;VakNTdrfVNVdreVNNTkUNN/2/32122/312212习题9.6被吸附在液体表面的分子形成一种二维气体,考虑分子间的相互作用,试用正则分布证明,二维气体的物态方程为SBNTkpS/1,其中:SrdreNBkT;212/为液体的面积,为两分子的互作用势。解:二维气体iiiyixppNdydxdpdpehNZjiiiyixm)(22221!1QmNdpdqedqehNNrNiypixpmjiij)2(!1!1)22(21)(2其中nrdrdrdreQjiij21)(定义1)(ijrijefnjiijnjiijdrdrfdrdrdrfQ121)1()()1(只保留前部分2112211;drdrfVdrdrfdrdrfSNnijjinijN其中2112222drdrfSNSQNN变量代换1221;2/rrrrrRdrfSNSQNN12122drfSNSNdrfVNSNQ1221222ln21lnlnln据式(9.5.3)SBkNTdrfSNNTkPVSQZP121ln1ln112习题9.7仿照三维固体的地拜理论,计算长度为L的线形原子链在高温和低温下的内能和热容量。解:一维线形原子链,......1,0,/2,nLnkckcLddDLdkdn2/)(;2/共有N个振动,存在最大频率DLNcNdcLNdDDD/22)(0decLUdeDUUkTkT1002)(令kTdxdxkT/12)1(2220220xxexdxckLTUedxxTkcLUU高温近似kNTUdxckLTUUx02202;1低温近似DexkNTUdxckLTUUx6/22201220其中DDk习题9.8仿照三维固体的德拜理论,计算长度为L的线形原子链(一维晶体)在高温和低温下的内能和热容量。解:二维:面积S内,yxdkdk波矢范围内辐射场振动自由度为2244skdkddksdkyx横波按频率分布为dcSdSkdk2120224纵波按频率分布为dcSdSkdk222022422212221112112ccSBdBdccSdDdDdD纵横deBUedDUUDDktkt0200011令kTdxdxkT,dxexkTBUdxkTexkTBUUkTxxD023022011低温近似300230404.21kTBUdxexkTBUUx高温近似23003021kTkTBUdxxkTBUUDkTDvC计算略。习题9.9利用德拜频谱求固体在高温和低温下配分函数对数Zln,从而求内能和熵。BNNBNdDDDD4222)(202解:式(3.9.4)ieeeZ1lnlnln20德拜频谱BND93对于振动)(1ln1lnlnln2020020xdeeBdDeeeZDD代换dxxeBdBDDx2003201ln2340340151531DNUBUS计算略高温近似,T,03ln1lnln300200dBdBZDDDdBab0203031ln3BBDD9ln3330NNln30(计算略)习题9.10固体的结合能0U和德拜特征温度D都是体积V的函数。利用上题求得的Zln求低温条件下固体的物态方程。令VDlnln,试证明,在高温及低温下,固体的物态方程都可表为:VUUdVdUp00。解:以低温为例3030340115lnDDDAUAUNUZ据正则分布热力学公式(9.5.3),将0U及D视为体积V的函数。VAVUVZpVAVUVZDDDD4404403ln13ln(1)据热力学式(9.5.1)得出:4403lnDAUZ4403lnDAUZU(2)联立(1)(2)得出:VUUVUpDD00VUUdVdUVVUUdVdUD0000lnln其中VDlnln;原式得证。高温情况可作类似处理(略)习题9.11固体中某种准粒子遵从玻色分布,具有以下的色散关系4Ak。试证明在低温范围内,这种准粒子的激发所导致的热容量与23T成比例。(铁磁铁中的自旋波具有这种性质)证:色散关系2Ak;N粒子体系(固体)dkkVddkdkVdkdkdkVdDzyx22202302030sin44dAVAAdAV2/12/32222令2/322AVB,DDNdBdD02/10BND2323DDdeDBUdeDUUkTkT02300011DdeDBUUkT02301代换kTx;DdxexkTkTBUUx0232301当0T时;023232501dxexkTBUUx250kTUU;于是23TCTUv习题9.14用巨正则分布导出单原子分子理想气体的物态方程,内能,熵和化学势。解:参照9.17关于玻耳兹曼体系配分函数的处理lllllle00lnlnln过渡到连续能量分布得:323232222lndpeehVdpdpdpehVpmzyxpppmzyx30232.22mmdeehVpm2322323322hmVemehV利用热力学式可求得kTNpV,kTNU23等(略)注:l--------单粒子处于l能级的能量。习题9.16设单原子分子理想气体与固体吸附面接触达到平衡,被吸附的分子可以在吸附面上作二维运动,其能量为022mp,束缚能0是大于0的常数。试根据巨正则分布求吸附面上被吸附分子的面密度与气体温度和压强的关系。解:}2exp{)2(!!!00022201)2(02),(02ehmAehmNAdpdpehNeAdehNeNNNNNmpNNNNpqENNN因而,022lnehmkTAN022ehmkTA,又232)2(mkThkTpe,故kTemkThhmpAN02322)2(2,得出,ANkTemkThkTp0212)2(习题9.17利用巨正则分布导出玻耳兹曼分布。解:NSENse;由于玻耳兹曼系,粒子可分辨,从而llllaEaeaaaaN!!!!321为简单起见,考虑无简并(有简并情况完全可类似处理)llllaEaeaaaa!!!!1321lllaElalea!10!1lllllaaaEleCxpea于是:0explallelaaalalmaaamlaalSENlNlllllmmmllSeaeaaeaeaa!1!1!1laaaallaaallllllllleaaeaa1!1!1!lleealexp1即对无简并情况leal对有简并者,类似处理可得leall(略)l——简并度
本文标题:高教热统答案第九章
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