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12013-2014(2)大学数学(B)练习题第四章无穷级数一、选择题1.若0limnnu,则级数1nnu………………………………………………………()A.收敛且和为0B.收敛但和不一定为0C.发散D.可能收敛也可能发散2.下列级数发散的是……………………………………………………………………()A.121nnB.12)1(nnC.211nnD.12)1(nnn3.设无穷级数1npn收敛,则在下列数值中p的取值为……………………………()A.2B.1C.1D.24.若31lim1nnnaa,则级数nnnxa)21(0的收敛半径等于…………………………()A.31B.3C.32D.235.幂级数11)1()1(nnnnx的收敛区域是……………………………………………()A.]2,0(B.)2,0[C.)2,0(D.]2,0[6.设幂级数0nnnxa在3x处收敛,则该级数在1x点处………………………()A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.可能收敛也可能发散7.无穷级数1!1nn的和为…………………………………………………………………()A.eB.1eC.1eD.2e8.241xx展成x的幂级数是………………………………………………………………()A.12nnxB.12)1(nnnxC.22nnxD.22)1(nnnx二、填空题21.若级数1nnu收敛于S,则级数)(11nnnuu收敛于.2.设a为常数,若级数)(1aunn收敛,则nnulim.3.部分和数列nS有界是正项级数1nnu收敛的条件.4.若级数1lnnxn收敛,则x的取值范围是.5.若级数1nnu条件收敛,则级数1nnu的敛散性为.6.幂级数1n32)1(nnnnnxx的收敛半径为.7.设幂级数1nnnxa的收敛半径为2,则级数1)1(nnnxna的收敛区间为.8.dxxxxx)!3!2!11(64102.三、解答与证明题1.证明级数)13)(23(1741411nn收敛并求其和.2.判断下列级数的敛散性.(1)87654321;(2)1143132121nn;(3)14tannn;(4)1151nnn;(5)13sin2nnn;(4)1!3nnnnn;(7)443322243233223213;(8)nnnn)12(1;(9)133nnn;(10)12)1(2nnn.3.下列级数哪些是绝对收敛的?哪些是条件收敛的?3(1)11)1(nnn;(2)12sinnnnx;(3)112)1(nnnn.4.求下列幂级数的收敛半径和收敛域.(1)1nnnx;(2)1)(nnnx;(3)nnnnx02)1(.5.求级数112112)1(nnnnx753753xxxx的收敛域并求和.6.利用已知展开式展开下列函数为x的幂级数并确定收敛域.(1)2)(xexf;(2)xxxf11ln)(;(3)221)(xxxxf.42013-2014(2)大学数学(B)练习题第四章参考答案一、选择题1.D;2.C;3.A;4.C;5.A;6.A;7.B;8.C.二、填空题1.12uS;2.a;3.充要;4.ex10;5.发散;6.31;7.)1,3(;8.)1(211e.三、解答与证明题1.31)1311(lim31)131231(lim31lim1nkkSnnknnn.2.(1)因01212limlimnnannn,由级数的收敛的必要条件,该级数发散.或者由于nnn21212,且1112121nnnn发散,故由比较判别法,该级数发散.(2)由于23111nnn,且1231nn收敛,故由比较判别法,该级数收敛.(3)由于0414tanlimnnn,且11nn发散,故由比较判别法的极限形式,该级数发散.(4)由于115151nnn,且1151nn收敛,故由比较判别法,该级数收敛.(5)1323sin3sin2limlim11nnnnnnaa,故由比值判别法(达朗贝尔判别法),级数收敛.(6)13)11(3lim!3)1()!1(3limlim111ennnnnaannnnnnnnnn,则由比值判别法,该级数发散.(7)123)1(23lim232)1(3lim111nnnnaannnnnnnn,故由比值判别法,该级数发散.5(8)由于12112limlimnnannnn,故由根值判别法(柯西判别法),该级数收敛.(9)1313limlim3nnnnnna,故由根值判别法,该级数收敛.(10)由于nnn3)1(21,且13limnn,根据两边夹法则知1)1(2limnnn,故1212)1(2limlimnnnnnna,由根值判别法,该级数收敛.3.(1)这是交错级数,nun1,nnuu1,又0nu,由莱布尼兹判别法知故原级数收敛.因取绝对值后的级数11nn通过比较判别法易知其发散,故原级数条件收敛;(2)各项取绝对值后得级数12sinnnnx,因221sinnnnx,及级数121nn收敛,由比较判别法知级数12sinnnnx收敛,所以原级数绝对收敛.(3)各项取绝对值后得级数12nnn,对此正项级数用比值审敛法,有12121limlim1nnuunnnn,故级数12nnn收敛,所以原级数绝对收敛.4.(1)1nan,11limlim1nnaannnn于是该级数的收敛半径为11R,收敛区间为)1,1(.当1x时,该级数为111(1)23n,括号内是调和级数,发散,当1x时,该级数为11111(1)23nn,这是交错级数,满足莱布尼兹判别法收敛条件,故收敛.所以该级数的收敛区间为1,1;(2)nnan,nnnnnnnnaa11)1(limlim于是该级数的收敛半径为0R,则该级数仅在0x处收敛;6(3)nnna2)1(,2122limlim11nnnnnnaa于是该级数的收敛半径为21R,收敛区间为)2,2(.当2x时,幂级数成为11n,是发散的;当2x时,幂级数成为1)1(nn,是发散的.因此收敛域为)2,2(.5.221||1212lim)()(limxxnnxuxunnnn,则由达朗贝尔判别法,当1||x时,级数收敛;当1||x时,级数发散,因此收敛半径1R.因1||x时,得7151311与7151311,根据莱布尼兹判别法,这两个数项级数都收敛,故收敛域为]1,1[.设753)(753xxxxxS,由幂级数的性质,有2642111)(xxxxxS,1||x,xtdtdttSSxSxSxxarctan1)()0()()(020,1||x.6.(1)2)(xexf!3!21642xxx02!)1(nnnnx,||x.(2))1ln()1ln(11ln)(xxxxxf)432()432(432432xxxxxxxx0111)1(nnnxn)53(253xxx012122nnnx,1||x.(3)])2([31)21111(3121)(002nnnnxxxxxxxxf0))2(1(31nnnx,21||x.
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