高数无穷小比较的教案

第13、14、15、16课时：【教学目的】1、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；2、熟记一些常见的等价无穷小；3、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型；4、了解连续函数的性质与初等函数的连续性。【教学重点】1、常见的等价无穷小的推导；2、等价无穷小求极限；3、函数连续性的概念（含左连续与右连续）及函数间断点的类型。【教学难点】判断间断点的类型。§17无穷小的比较1.定义：（1）如果0lim，就说是比高阶的无穷小，记作)(；（2）如果lim，就说是比低阶的无穷小，（3）如果0limc，就说是比同阶的无穷小，（4）如果0,0limkck，就说是关于的k阶的无穷小，（5）如果1lim，就说与是等价的无穷小，记作~这些中重要的是等价无穷小，结合例题要让学生特别熟练的记住一些常见的等价无穷小。例1.证明：当0x时，xnxn1~12.定理1.与是等价无穷小的充分必要条件为)(例2.因为当0x时，xx~sin，xx~tan，xx~arcsin，221~cos1xx，所以当0x时有)(sinxxx，)(tanxxx，)(arcsinxxx，)(21cos122xxx定理2设~，~，且lim存在，则limlim例3求xxx3tan2tanlim0，例4求xxxx3sinlim30，例5求1cos1)1(lim3120xxx注：求极限过程中，一个无穷小量可以用与其等价的无穷小量代替，但只能在因式情况下使用，和、差情况不能用。教学小结与学法建议学完本节课要理解无穷小比较的定义，要牢记课上总结的常见等价无穷小，等价无穷小替换时求极限的一种重要方法，做题时要注意正确的替换方法，在加减法中千万不能用等价无穷小替换，要结合例题和习题掌握牢固和熟练。师生活动设计P59：1，2，3，4（1）（2）作业：P59：4（3）（4）