高三数学专题复习直线与圆锥曲线

直线与圆锥曲线的位置关系（21）（本小题满分12分）如图，已知椭圆)0(12222babyax的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点21,FF为顶点的三角形的周长为)12(4，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于项点的任一点，直线1PF和2PF与椭圆的交点分别为A、B和C、D.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF、2PF的斜率分别为1k、2k，证明：121kk；（Ⅲ）是否存在常数，使得CDABCDAB恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.22．（本小题满分14分）已知动直线l与椭圆C:22132xy交于P11,xy、Q22,xy两不同点，且△OPQ的面积OPQS=62,其中O为坐标原点.（Ⅰ）证明2212xx和2212yy均为定值;（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求||||OMPQ的最大值；（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得62ODEODGOEGSSS?若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.(21)（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C:)0(22＞ppyx的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为43.(Ⅰ)求抛物线C方程;F2PF1DCBAoyx(Ⅱ)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切与点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由;(Ⅲ)若点M的横坐标为2,直线l:41kxy与抛物线C有两个不同的交点A,B,l与圆Q有两个不同的交点D,E,求当21≤k≤2时，22DEAB的最小值.2013山东理科22、椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别是12,FF,离心率为32错误!未找到引用源。，过1F,且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接12,PFPF,设12FPF的角平分线PM交C的长轴于点(,0)Mm，求m的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点.设直线12,PFPF的斜率分别为12,kk，若0k，试证明1211kkkk为定值，并求出这个定值.一、直线与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y(或x)得变量x(或y)的方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：Δ0⇔直线与圆锥曲线；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线；Δ0⇔直线与圆锥曲线．若a＝0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．二、弦长公式[疑难关注]1．直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用．2．当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．1．(课本习题改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定2．(2013年泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．(2013年台州模拟)已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则|AF||BF|的值为()A．5B．4C．3D．24．(课本习题改编)已知直线l过抛物线y2＝4x的焦点，且被抛物线截得的弦AB的长为8，则弦AB的中点到y轴的距离为________．5．(2013年东北四市联考)已知F1、F2为椭圆x225＋y29＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.考向一直线与圆锥曲线的位置关系[例1](2012年高考安徽卷)如图，点F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x＝a2c于点Q.(1)如果点Q的坐标是(4,4)，求此时椭圆C的方程；(2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．1．(2012年高考广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P(0,1)在C1上．(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．考向二相交弦问题[例2]设过原点的直线l与抛物线y2＝4(x－1)交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好过抛物线焦点F.求：(1)直线l的方程；(2)|AB|的长．本例中将“以AB为直径的圆恰好过抛物线焦点F”改为“AB的中点为(2,3)”，求l的方程．考向三定点、定值的探索与证明[例3](2012年高考湖南卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．(1)求曲线C1的方程；(2)设P(x0，y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D，证明：当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．2．(2012年高考福建卷)如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p0)上．(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q，证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．【答题模板】圆锥曲线最值问题的解题策略【典例】(13分)如图，椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32，直线x＝±a和y＝±b所围成的矩形ABCD的面积为8.(1)求椭圆M的标准方程；(2)设直线l：y＝x＋m(m∈R)与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T，求|PQ||ST|的最大值及取得最大值时m的值．1．(2012年高考北京卷)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点．其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．2．(2012年高考福建卷)如图，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝12.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程．(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由一、选择题1．(2013年揭阳模拟)过点P(4,4)且与双曲线x216－y29＝1只有一个公共点的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条2．(2013年海口模拟)若AB是过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM、BM与两坐标轴均不平行，kAM，kBM分别表示直线AM、BM的斜率，则kAM·kBM＝()A．－c2a2B．－b2a2C．－c2b2D．－a2b23．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A.－12，12B．[－2,2]C．[－1,1]D．[－4,4]4．(2013年福州模拟)已知直线l：y＝12x＋m与曲线C：y＝12|4－x2|仅有三个交点，则实数m的取值范围是()A．(－2，2)B．(－2，2)C．(1，2)D．(1，3)5．(2013年衡水模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，F(c,0)是它的右焦点，经过坐标原点O的直线l与椭圆相交于A，B两点，且FA→·FB→＝0，|OA→－OB→|＝2|OA→－OF→|，则椭圆的离心率为()A.2B.3C.2－1D.3－1二、填空题6．(2013年浙江五校联考)已知F1为椭圆C：x22＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A、B两点，则|F1A|＋|F1B|的值为________．7．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(0，－1)，直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB的中点为(2，－2)，则直线l的方程为________．8．过点P32，－1作抛物线y＝ax2的两条切线PA，PB(A，B为切点)，若PA→·PB→＝0，则a＝________.9．(2013年洛阳模拟)已知双曲线x24－y212＝1的离心率为p，焦点为F的抛物线y2＝2px与直线y＝k(x－p2)交于A，B两点，且|AF||FB|＝p，则k的值为________．三、解答题10．(2013年郑州模拟)已知圆C：(x＋3)2＋y2＝16，点A(3，0)，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，设点M的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程；(2)过点P(1,0)的直线l交轨迹E于两个不同的点A，B，△AOB(O是坐标原点)的面积S＝45，求直线AB的方程．11．已知椭圆C：x2a2＋y2＝1(a1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：(x－3)2＋(y－1)2＝3相切．(1)求椭圆C的方程；(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P，Q两点，且AP→·AQ→＝0.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．12．(能力提升)(2012年高考北京卷)已知曲线C：(5－m)x2＋(m－2)y2＝8(m∈R)．(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；(2)设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y＝kx＋4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y＝1与直线BM交于点G，求证：A，G，N三点共线．解:（Ⅰ）当xc代入椭圆方程2222:1xyCab,得2bya,由题意知22=1ba,即22ab.所以32cea,2,1ab.所以,椭圆方程22:14xCy.（Ⅱ）设00(,)Pxy,当002x时,①当03x时,直线2PF的斜率不存在,易知1(3,)2P或1(3,)2P.若1(3,)2P,直线1PF的方程为4330xy.由题意得|m+3|37m,由于33m,所以334m.若1(3,)2P,同理可得334m.②当03x时,设直线12,PFPF的方程分别为12(3),(3)ykxykx.由题意得11222212|3||3|1+1+mkkmkkkk,整理得22122211(3)1(3)1kmmk.又∵220014xy,且001200,33yykkxx,∴22222000222220004(3)4(34)(3)(3)4(3)4(34)xxxmmxxx,即00343334xmmx,又∵33m,0002,3xx且,∴00343(3)(34)xmmx.整理得034xm,所以3330,24mm且.综合①②可得,302m.当0-20x时,同理可求得3-02m.综上所述,m的取值范围是33(-,)22.(Ⅲ)设000(,)(0)Pxyy,则直线l的方程为00()yykxx,由22001.4().xyyykxx整理得22222200000(14)8()4(21)0kxky