高三数学研究性学习的尝试与建议

第1页高三数学研究性学习的尝试与建议我国倡导研究性学习已近10年，目前却徘徊不前。在应试教育的环境下，一切素质教育措施都举步维艰。然而，高三年级又是应试教育最彻底最恐怖的阶段，每周各科有小测验，每个月有月考，还有一诊考试、二诊考试和三诊考试，教师坚持“考什么教什么”，学生盲从“以考代学，以考促学”，无论是教学、学习还是评价都围绕考试展开，虽然每个教师都反对应试教育，作为一个教师无力改变现状，唯一可作的是：在应试教育的恶劣环境下，选择恰当的课题，既不影响高三复习，又培养学生初步的科研意识，在夹缝中开展研究性学习。下面我们介绍一次研究性学习的实例和同行交流。月考试题在高三一次月考中我校出了这样一个考题：已知1A、2A是椭圆15922yx的长轴的两个端点，点P在右准线l上，椭圆右焦点为F，直线PA1和直线PA2分别交椭圆于M、N，求证：M、N、F三点共线.课题提出试卷分析发现此题的正确解答率不高，如果仅仅通过课堂评讲介绍一种或几种解答方法，未必能提高学生处理解析几何问题的能力。我想：如果把曲线方程改为一般的椭圆方程12222byax，学生对于字母的运算可能更困难；如果把曲线方程改为双曲线或抛物线，学生能否类似地解答相关问题。要使学生在高三复习时达到‘解一题、通一遍’的效果，对试题进行研究性学习是必要的。对此，我放弃评讲此题，只向学生印发了答案，并提出两个问题：（1）椭圆方程12222byax的长轴端点1A、2A，右准线l：cax2，右焦点)0,(cF，M、N是椭圆上两点，PNAMA21，研究“P在准线l上”与“M、N、F共线”的关系。（2）把问题（1）中椭圆改为双曲线或抛物线是否具有类似结论。分组研究由于高三学习非常紧张，要求每个学生研究以上两个问题是不切实际的，我将全班学生分为3个小组，每组确定一个组长，第一组研究问题（1），第二组研究双曲线的情形，第三组研究抛物线的情形。组长负责收集本组的研究结论，我私下在各组中指定几个学习优秀的学生进行研究，要求学生3天内反馈研究结论。小组结论1．第一组用三角法和解析法都证明了结论：椭圆C：12222byax，长轴端点1A、2A，右准线l：cax2，右焦点)0,(cF，M、N是椭圆上两点，PNAMA21，则点P在准线l上的充分必要条件是M、N、F共线.下面介绍充分条件的解析法证明：设),(2mcaP，),(11yxM，),(22yxN，1A、M、P共线1MA∥1PAacaymcax)()(11第2页同理：2A、N、P共线acaymcax)()(22.P在准线l上acaymcaxPNAacaymcaxPMA)()(,,)()(,,222111共线共线)()()()(1221cayaxcayax0)()()]()[1221212212121yxyxcyyayycyxyxa①由①②可知：点P在准线l上的充分条件是M、N、F共线。（限于篇幅，必要条件证明省略。）2．第二组用三角法和解析法都证明了结论：双曲线C：12222byax，实轴端点1A、2A，右准线l：cax2，右焦点)0,(cF，M、N是双曲线两点，PNAMA21，则点P在准线l上的充分必要条件是M、N、F共线.我们介绍三角法的证明：设),(2mcaP，)tan,sec(baM，)tan,sec(baN，M、N、F共线MF∥NFtan)sec(tan)sec(bcabca)sin(sin)sin(ca2cos2cose①1A、M、P共线1MA∥1PA)(tan)1(sec2acabmasin)()1(coscabcm同理：2A、N、P共线sin)()1(coscabcm.P在准线l上sin)(sin)(1cos1coscacasin)1(sin)1(ee)sin(sin)sin()sin(sinsine2sin2sin2cos22sin2sin2cos2e2cos2cos②由①②可知：点P在准线l上的充分必要条件是M、N、F共线。3．第三组在研究中遇到困难，有学生认为：抛物线与椭圆、双曲线不同，只有一个顶点，在抛物线准线上取一点P和顶点的连线只有1条，估计抛物线没有类似结论。对于学生的判定，笔者开始认为学生的想法也有道理。但是，抛物线和椭圆、双曲线都是圆锥曲线，都是平面和圆第3页锥相截产生的曲线，既然椭圆和双曲线都有这样的结论，抛物线也应该有类似的结论。回想起《高等几何》中两条平行线的交点可以看作是无穷远点，抛物线开口两边的曲线也可以看作他们相交于无穷远处。于是，我建议学生把抛物线对称轴上的无穷远点想作是抛物线的另一顶点，鼓励学生继续思考和研究，几天后学生果然得到了以下结论：抛物线C：pxy22，顶点1A，设x轴正方向上无穷远点为2A，左准线l：2px，右焦点)0,2(pF，M、N是双曲线两点，PNAMA21，则点P在准线l上的充分必要条件是M、N、F共线.（注：当2A无穷远点时，NA2平行于x轴）证明：设),2(mpP，)2,2(121ptptM，)2,2(222ptptN，)0,0(1A，)0,(2AM、N、F共线MF∥NF1421tt①1A、M、P共线1MA∥1PApmt12，2A、N、P共线NP∥x轴mpt22.则P在准线l上1421tt②由①②可知：点P在准线l上的充分必要条件是M、N、F共线。结论综述设圆锥曲线C的一条准线为直线l，对应的焦点为F，1A、2A是曲线C的顶点，M、N是曲线C两点，PNAMA21，则点P在准线l上的充分必要条件是M、N、F共线.（注：当曲线C为椭圆时，1A、2A是长轴的两个端点；当曲线C为抛物线时，1A是抛物线的顶点，2A是对称轴上的无穷远点）通过上述问题的研究，学生主动复习了解析几何和三角知识，体验了三角法的功能，找到了三种圆锥曲线完美统一的结论，感受了数学结论的奇妙和完美。解析几何中的课题是高中教学的难点问题，也是高考的重点题材，能吸引学生积极参与，研究这类课题，不会影响高三的复习，而且能提高学生问题解决的能力，对高考大有裨益。所以，这样的研究性学习是可行的，能够实现“以研促学，以研助考”。对此我们给出几条建议。高三研究性学习的几点建议1．正确理解研究性学习的含义，拓广研究性学习的选题范围前几年教育理论界和各级学校认为研究性学习必须“回归生活、了解社会”。强调学生通过调查、收集、分析和处理信息来了解社会，进而提高分析和解决问题的能力。认为数学科的问题研究和新结论的发现脱离生活，不属于研究性学习。我们查阅资料，了解了研究性学习有影响的学校的选题及成果。结果如下：第4页（1）江苏太仓高级中学2000学年研究性学习选题63个，大都是人文课题，没有1个课题直接与数学相关。（2）上海七宝中学1998~1999年研究性学习选题75个，主要涉及环保、生物和生活常识，没有1个课题直接与数学密切相关。（3）河南巩义第二中学研究性学习选题78个，主要涉及交通、旅游、矿产、环保、农业、信息，没有1个课题直接与数学密切相关。（4）重庆开县中学2001~2002年研究性学习成果汇编的45篇小论文，主要涉及人文知识和生活常识，只有1篇与数学科相关。由于这些学校认为研究性学习必需“走向自然、走向社会、走向生活”，放弃大量与数学科密切相关的又易着手的数学问题，致使数学研究性学习的选题走向困境。我们认为：研究性学习是一种由学生主动参与、积极研究，并形成初步的科研意识和探究能力的学习方式。不能限制学生只研究来源于社会和生活的课题，应该拓广选题范围，只要学生主动参与、积极研究，这样的学习都是研究性学习。2．高三年级的研究性学习应该“上通数学、根植课堂、紧系高考”前几年的研究性学习强调“走向社会、走向生活”，象“企业文化与企业发展”、“广告的真实性与可信度”等课题，既远离课堂教学，又去数学化，学生通常模糊地收集一些数据，不用数学知识分析和处理，随意发表议论，其研究成果既象一篇议论文，又像一篇政治科考试答卷。数学研究性学习有别于传统的社会调查报告，应该有“数学味”，必需“上通数学”。“轰轰烈烈的素质教育，扎扎实实的应试教育”是当前中国教育的现状，一个学校如果没有良好的升学率，无论素质教育搞得多好都难得到社会承认，常有家长质问：既然素质教育搞得这么好，为什么没几个学生考上大学？也有教师认为：学生素质的外在表现就是考试，连考试都不会还谈什么素质，甚至认为会考试也是一种素质。目前而言，远离高考的研究性学习缺乏社会土壤，不会吸引学生积极参与，高三年级的研究性学习应该“根植课堂、紧系高考”。教师可以把教学中的难点问题和高考中的压轴题设计为研究课题，这种“以研促学，以研助考”的研究性学习既利于高三教学复习，也符合中国国情。3．科学选题和个别化教学是成功开展研究性学习的保证在研究性学习的指导过程中我们发现：不同学生对学习的理解和兴趣倾向是不同的，重视应试的学生喜欢探究与考试有关的问题，热爱错误剖析、反例辟谬、变式题解、数理结合。参加数学竞赛训练的学生藐视教材中的问题，喜欢钻研一些难度较大的竞赛题和探索强的趣味数学题。而高三的优秀学生尤其重视高考中的压轴题，例如，导数的应用问题、解析几何问题和数列不等式问题，是各省高考长盛不衰的热点，俗称“高考难题闯三关”。教学中要善于抓住契机，因势利导，有意识的科学地设计研究课题。但是，仅有研究课题还不够，不同学生对课题的反应、思维的激活程度和课后研究的态度各不相同，有的学生坚持几天就畏难放弃，有的学生持续数月热情不减。所以，在研究性学习过程中，学生探究欲望的激发、研究苗头的发现、研究过程的督导都需要个别化教学。只有这样才能保证研究性学习的顺利开展。参考文献[1]霍益萍著．研究性学习实验与探索[M]．南宁：广西教育出版社，2001.9[2]嵇永宁，苗长广编著．研究性学习教师导读[M]．南宁：广西教育出版社，2001.9