高等代数专题研究模拟试题

高等代数专题研究模拟试题一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）1.下列法则中，哪个不是Z上的二元代数运算？（）（A）abab（B）abab（C）aba（D）baba2.设是线性空间V的线性变换，,是的分别属于特征值与的特征向量，则（）.（A）若与线性相关，则；（B）若与线性无关，则；（C）若与线性相关，则；（D）若与线性无关，则.3.全体正实数R对于下面定义的加法和标量乘法：abab，kkaa构成R上的线性空间，则它的维数是（）.（A）0（B）1（C）2（D）34.如果线性空间V上的线性变换A在V的一组基12,下的作用为：112212A23A54那么A在基12,下的矩阵为（）.（A）2534（B）2354（C）4352（D）45325.设V为欧几里得空间，,,是V中的任意向量，则下列式子不成立的是（）.（A）(,),（B）(,)(,),（C）(,),,（D）,0二、填空题（本题共20分，每小题4分）1.正交矩阵的行列式等于.2.设ba,为两个不相等的常数，则多项式()fx被()()xaxb除所得余式为.3.同一双线性函数在不同基下的度量矩阵是的.4.若矩阵A与245相似，则A的行列式A.5.设42()23fxxx，32()22gxxxx，则(),()fxgx.三、计算题（本题共45分，每小题15分）1.求多项式432()642fxxxxx的所有有理根.2.已知123(1,2,1,2),(2,3,1,0),(1,2,2,3)；123(1,1,1,1),(1,0,1,1),(1,3,0,4).求（1）1123(,,)WL的一组基与维数；（2）2123(,,)WL的一组基与维数；（3）12WW与12WW的一组基与维数.3.设123246369A，求一个正交矩阵T，使得TTAT是一个对角矩阵.四、证明题（本题15分）设A是n阶正定实对称矩阵，B为n阶实反对称矩阵（TBB），证明：2AB是正定实对称矩阵.高等代数专题研究模拟试题答案一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）1.D2.C3.B4.A5.D二、填空题（本题共20分，每小题4分）1.12.()()()()fafbafbbfaxabab3.相合4.405.1x三、计算题（本题共45分，每小题15分）1.解：46a，02a.根据定理2.9.4，()fx的有理根只可能是：1，2，12，13，23，16.依此代入检验可得，102f，203f.因此()fx的有理根是12，23.2.解：（1）123,,线性无关，因此1dim3W，123,,即为1W的一组基.（2）123,,线性无关，因此2dim3W，123,,即为2W的一组基.（3）12dim4WW，一组基为1232,,,，12dim2WW，一组基为13,.3.解：2123246(14)369EA因此A的特征值为0，0，14.当0时，解方程组0AX，得一组基础解系为1210，2301单位正交化可得1255550，2370706707057070当14时，解方程组(14)0EAX，得一组基础解系为3123单位正交化可得3141414731414以123,,为列，可得正交矩阵253701457014567014570757031407014T，且0014TTAT为对角阵.四、证明题（本题15分）证明：因为A是正定实对称矩阵，所以TAA.B为n阶实反对称矩阵，TBB，从而22222()()()()TTTTTABABABABAB因此2AB是实对称矩阵.对于任意n维列向量0X，有2()()()0TTTTTTTTXABXXABBXXAXXBBXXAXBXBX故2AB是正定实对称矩阵.