高等数学(同济第五版)第八章多元函数微分学练习题册

姓名：学号：班级：《高等数学》第八章作业71第八章多元函数微分法及其应用第一节作业一、填空题：.sinlim.4.)](),([,sin)(,cos)(,),(.3arccos),,(.21)1ln(.102222322xxyxxfxxxxyxyxfyxzzyxfyxxyxzayx则设的定义域为函数的定义域为函数二、选择题（单选）：1.函数yxsinsin1的所有间断点是:(A)x=y=2nπ（n=1,2,3,…）；(B)x=y=nπ(n=1,2,3,…)；(C)x=y=mπ(m=0,±1，±2，…)；(D)x=nπ,y=mπ(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。答：（）2.函数0,20,(2sin),(22222222yxyxyxyxyxf在点（0，0）处：（A）无定义；（B）无极限；（C）有极限但不连续；（D）连续。答：（）三、求.42lim0xyxyayx四、证明极限2222200)(limyxyxyxyx不存在。姓名：学号：班级：《高等数学》第八章作业72第二节作业一、填空题：.)1,(,arcsin)1(),(.2.)1,0(,0,0),sin(1),(.122xfyxyxyxffxyxxyyxxyyxfxx则设则设二、选择题（单选）：.42)(;)(2)(;4ln2)()(;4ln2)(:,2222222yxyxyxyyxyDeyxyCyyxByAzz等于则设答：（）三、试解下列各题：.,arctan.2.,,tanln.12yxzxyzyzxzyxz求设求设四、验证.2222222222rzryrxrzyxr满足第三节作业一、填空题：.,.2.2.0,1.0,1,2.1dzezdzzyxyxxyzxy则设全微分值时的全增量当函数二、选择题（单选）：1.函数z=f(x,y)在点P0（x0,y0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的：（A）充分条件；（B）充要条件；（C）必要条件；（D）无关条件。答：（）姓名：学号：班级：《高等数学》第八章作业732.f(x,y)在(x0,y0)处两个偏导数fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的：（A）充分必要条件；（B）必要非充分条件；（C）充分非必要条件；（D）既非充分亦非必要条件。答：（）三、试解下列各题：.,arccos.4.2,1)1ln(.3.,.2.,.12222dzyxxzyxyxzduxudzyxxyzyz求设时的全微分当求函数求设求设四、证明：xyxf),(在点（0,0）处的偏导数存在，但在点(0,0)处不可微。第四节作业一、填空题：.,,sin,.132dtdztytxezyx则而设姓名：学号：班级：《高等数学》第八章作业74.,),,(.3.,23,,ln.22dzfyxyxfzxzyxvyxuvuz则可微设则而设二、选择题（单选）：).ln()(2)();ln()()(2)(;)(2)()];ln())(()([2)(:,,)(.11122yxyxDyxyxyxCyxzByxyxyxyxzAuuyxzyxuzzzzzyxz等于则而设答：（）.3ln)]('[[3)(')()];('[3ln3)(;3ln)]('[3)(;3ln)]('[3)(:,)(,3.2yyfxzyfzDyyfxCyyfxByxfyAdydzfyfxzxyyxxyxyxyxy等于则可导且而设答：（）.)(;)(;)(;)(,),(.32221'2222122'212121211'22xzfxffDxzfxfCxzfxfxfBxfzfxffAzxxzyxfu则有二阶连续偏导数设答：（）三、试解下列各题：1.设.,),arctan(dxdzeyxyzx求而2.求下列函数的一阶偏导数（其中f具有一阶连续偏导数）：).,,()2().,()1(22xyzxyxfueyxfuxy姓名：学号：班级：《高等数学》第八章作业753..,),,(2yxzfyxxfx求具有二阶连续偏导数设4.设z=f(x,u,v),u=2x+y,v=xy,其中f具有连续偏导数，求全微分dz。.0:,,,,),,(.522yzxxzyvuuvyuxfyxfz量交换方程为新的自变试以而具有连续的一阶偏导数且设四、设.11:,)(,)(222yzyzyxzxufyxfyz验证为可导函数其中第五节作业一、填空题：1..,arctanln22dxdyxyyx则设姓名：学号：班级：《高等数学》第八章作业76.,),(),(.5.)1,0,1(),(2.4.,0arctan),(.3.,010442),(.22222222uxxuvyyvuxvuyvuxxdzyxzzzyxxyzyxzyyxzyxzzxzzyxzyxyxzz则所确定由方程组和设函数处的全微分在点所确定的函数由方程则所确定由方程设则所确定由方程设二、选择题（单选）：.)1()1()(;1)(;)1()(;)1()1()(:,),(.1yxxzyDyyzCyxyByxxyAxyexyzzxyyyx是则所确定由方程函数答：（）.0)(;1)(;21)(;21)(,cos,tan,.20DCBAdtdztytxeezyxtxx则已知答：（）三、试解下列各题：.,3.2.,ln.1233yxzaxyzzyzxzyzzx求设及求设姓名：学号：班级：《高等数学》第八章作业773.设.,,sin,cosyzxzuvzveyvexuu和试求四、设Φ(u,v)具有连续偏导数，证明由方程Φ（cx-az,cy-bz）=0所确定的函数z=f(x,y)满足.cyzbxza第六节作业一、填空题：.),,()),()()(,(),(.2.sin02,sin,cos.1000程是处的切线方上点皆可微和其中曲线轴夹角的正弦点处的切线与在相应于曲线zyxyxgxfyxgzxfyoztezteytexttt二、选择题（单选）：.32)(;3)(;43)(;4)(:,)1,1,2(02.1DCBAoyozzyxxyz轴正向所夹角为则此切向量与轴正向成锐角点处的一个切向量与上曲线答：（）.93)(;33)(;73)(;53)(:)2,2,1(12.232zyxDzyxCzyxBzyxAzxy处的切平面方程是上点曲面答：（）3.曲线2x=y2,z=x2在某一点处的切向量于三个坐标轴正向夹角相等，与这一点相应的x值等于：.2)(;31)(;21)(;1)(DCBA答：（）姓名：学号：班级：《高等数学》第八章作业78三、试解下列各题：.)5,4,3(50.3.0212.2.)22,1,12(2sin4,cos1,sin.1222222222点处的切线方程在求曲线的切平面方程上平行于平面求椭球面方程的切线方程及法平面在点求曲线zyxzyxzyxzyxtztyttx四、试证曲面各坐标轴上上任何点处的切平面在)0(aazyx的截距之和等于a.姓名：学号：班级：《高等数学》第八章作业79第七节作业一、填空题：1.函数z=x2+y2在点(1,2)处沿从点(1,2)到点)32,2(的方向导数等于。2.数量场f(x,yz)=x+2y+3z在(-1,2,0)点处的梯度是。3.设f(x,y)=x2-xy+y2，则f(x,y)在点(1,1)变化率最大方向上的单位向量为。二、选择题（单选）：.31)(;31)(;51)(;51)(:22)1,11(32DCBAkjiIyzxyzy的方向导数等于沿在点函数答：（）三、试解下列各题：.1)2,2()(1.122222222方向导数在这点的内法线方向的处沿曲线在点求函数byaxbabyaxz2.求函数u=xyz在点M(1,1,1)沿从点(1,1,1)到点(2,5,3)的方向的方向导数。3.设f(x,y,z)=x2=2y2+3z2+xy+3x-2y-6z，求gradf(1,1,1).姓名：学号：班级：《高等数学》第八章作业80.86,)1,1,1(632.422222的方向导数处沿方向在点求函数处的指向外侧的法向量在点是曲面设nPzyxuPzyxn四、设u,v都是x,y,z的函数，u,v的各偏导数存在且连续，证明：grad(uv)=vgradu+ugradv.第八节作业一、填空题：1.函数f(x,y)=4(x-y)-x2-y2的极大值为。2.设函数z=z(x,y)由方程x2+2y2+3z2+xy-z-9=0所确定，则函数z的驻点为。3.函数z=xy在闭区域x≥0，y≥0,x+y≤1上的最大值为。二、选择题（单选）：.52)(;52)(;5)(;5)(:52.122DCBAyxyxz的条件下的极小值为在满足答：（）2.函数z=x2+y3在(0,0)处：（A）有极大值；（B）有极小值；（C）没有极值；（D）既有极大值又有极小值。答：（）三、试解下列各题：1.求函数f(x,y)=(6x-x2)(4y-y2)的极值。姓名：学号：班级：《高等数学》第八章作业812.要造一个容积等于k的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小。四、将周长为2p的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积为最大？第八章综合作业一、填空题（每小题4分，共20分）：.),(,),(),(.5)4,1,1(3.4.,arctan.3.,sin.2.,.10000222)3,2,1(22成立处取得极值则必有且在处存在一阶偏导数在点设处的法线方程是在点曲面则设则设则已知yxyxyxfzyxzdzyxyxzxzyxxyezgraduzxyzxyuyx二、选择题（单选）（每小题5分，共20分）：1.113lim00xyxyyx（A）3；（B）6；（C）不存在；（D）∞.答：（）2.若函数f(x,y)在点(x0,y0)处：（A）偏导数存在，则f(x,y)在该点一定可微；（B）连续，则f(x,y)在该点偏导数一定存在；（C）有极限，则f(x,y)在该点一定连续；（D）可微，则f(x,y)在该点连续且偏导数一定存在。答：（）姓名：学号：班级：《高等数学》第八章作业82.31arccos)(;4)(;3)(;2)(:cossin,cos,sin.32DCBAxoytttztytx面的夹角是处的切线与在对应于曲线答：（）4.函数z=2x3-4x2+2xy-y2的极值点为：（A）（0，0）；（B）（1，1）；（C）（0，0）与（1，1）（D）无极值点。答：（）三、试解下列各题（每小题7分，共28分）：.,),,(.4.,,,cos,sinsin,cossin,.2.,0.2).1,1,1(,),,(.12222222zzyyxxzzuuufzyxzyxfuuururzryrxzyxuyxzxyzedfyxzyxf求具有二阶连续偏导数其中设求设求设求设四、求曲面).7()1,2ln,2(ln4分处的切平面及法线方程在点zyzxee姓名：学号：班级：《高等数学》第八章作业83五、求曲线0453203222zyxxzyx在点(1,1,1)处的切线及法平面方程（7分）。六、求函