高等数学复旦大学习题答案五

116习题五1．求下列各曲线所围图形的面积：（1）y=12x2与x2+y2=8(两部分都要计算)；解：如图D1=D2解方程组y=12x2x2+y2=8得交点A(2，2)(1)D1=028x212x2dx=π+23∴D1+D2=2π+43,D3+D4=8π2π+43=6π43．（2）y=1x与直线y=x及x=2；解：D1=12x1xdx=12x2lnx21=32ln2.(2)（3）y=ex，y=ex与直线x=1；解：D=01()exexdx=e+1e2．(3)（4）y=lnx，y轴与直线y=lna，y=lnb．(ba0)；解：D=lnalnbeydy=ba．(4)117（5）抛物线y=x2和y=x22；解：解方程组y=x2y=x22得交点(1，1)，(1，1)D=11()x2+2x2dx=401()x2+1dx=83．(5)（6）y=sinx，y=cosx及直线x=π4，x=94π；解：D=2454(sinxcosx)dx=2[]cosxsinx544=42．(6)（7）抛物线y=x2+4x3及其在(0，3)和(3，0)处的切线；解：y′=2x+4．∴y′(0)=4，y′(3)=2．∵抛物线在点(0，3)处切线方程是y=4x3在(3，0)处的切线是y=2x+6两切线交点是(32，3)．故所求面积为(7)33222302332223024343d2643dd69d9.4Dxxxxxxxxxxxxx（8）摆线x=a(tsint)，y=a(1cost)的一拱(0t2)与x轴；解：当t=0时，x=0,当t=2时，x=2a．所以1182π2π002π2202d1cosdsin1cosd3π.aSyxatattatta(8)（9）极坐标曲线ρ=asin3φ；解：D=3D1=3·a2203sin23φdφ=3a22·031cos6φ2dφ=3a24·φ16sin6φ30=a24．(9)（10）ρ=2acosφ；解：D=2D1=20212·4a2·cos2φdφ=4a2021cos2φ2dφ=4a2·12φ+12sin2φ20=4a2·12·2=a2．(10)2．求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积：（1）r=a(1+cosθ)及r=2acosθ;解：由图11知，两曲线围成图形的公共部分为半径为a的圆，故D=πa2．(11)119（2）r=2cosθ及r2=3sin2θ．解：如图12，解方程组r=2cosθr2=3sin2θ得cosθ=0或tanθ=33,即θ=2或θ=6．(12)D=0612·3sin2θdθ+6212·()2cosθ2dθ=34cos2θ60+θ2+14sin4θ26=6．3．已知曲线f(x)=xx2与g(x)=ax围成的图形面积等于92，求常数a．解：如图13，解方程组f(x)=xx2g(x)=ax得交点坐标为(0，0)，(1a，a(1a))∴D=01a()xx2axdx=12()1a·x213x31a0=16()1a3依题意得16()1a3=92得a=2．(13)4．设有一截锥体，其高为h，上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2a，2b和2A，2B，求这截锥体的体积。解：如图16建立直角坐标系，则图中点E，D的坐标分别为：E(a，h)，D(A，0)，于是得到ED所在的直线方程为：y=haA(xA)120(16)对于任意的y∈[0，h]，过点(0，y)且垂直于y轴的平面截该立体为一椭圆，且该椭圆的半轴为：x1=AAahy，同理可得该椭圆的另一半轴为：x2=BBbhy．故该椭圆面积为A(y)=x1x2=AAahyBBbhy从而立体的体积为V=0hA()ydy=0hAAahyBBbhydy=16h[]bA+aB+2()ab+AB.5.计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面一固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.见图17.(17)解：以底面上的固定直径所在直线为x轴，过该直径的中点且垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则底面圆周的方程为：x2+y2=R2．过区间[R，R]上任意一点x，且垂直于x轴的平面截立体的截面为一等边三角形，若设与x对应的圆周上的点为(x，y)，则该等边三角形的边长为2y，故其面积等于A()x=34()2y2=3y2=3()R2x2()R≤xR从而该立体的体积为V=RRA()xdx=RR3()R2x2dx=433R3．6.求下列旋转体的体积：（1）由y=x2与y2=x3围成的平面图形绕x轴旋转；解：求两曲线交点y=x2y2=x3得(0，0)，(1，1)V=01()x3x4dx=14x415x510=20．（14）（2）由y=x3，x=2，y=0所围图形分别绕x轴及y轴旋转；121解：见图14，Vx=02x6dx=1287Vy=0822y23dy=645．（2）星形线x2/3+y2/3=a2/3绕x轴旋转；解：见图15，该曲线的参数方程是：x=acos3ty=asin3t0t2，由曲线关于x轴及y轴的对称性，所求体积可表示为Vx=20ay2dx=220()asin3t2d()acos3t=6a302sin7tcos2tdt=32105a3(15)7．求下列曲线段的弧长：a)y2=2x，0≤x≤2；解：见图18，2yy′=2．y′=1y∴1+y′2=1+1y2．从而(18)l=2021+y′2dx=2021+1y2dx=2021y1+y2dy22=2021+y2dy=y1+y2+ln()y+1+y220=25+ln(2+5)b)y=lnx，3≤x≤8；解：l=381+y′2dx=381+1x2dx=381+x2xdx=1+x2ln1+1+x2x83=1+12ln32．c)y=−2xcostdt,−2≤t≤2；122解：l=−221+y′2dx=−221+cosxdx=−222cosx2dx=4202cosx2dx2=42sinx220=4.8．设星形线的参数方程为x=acos3t，y=asin3t，a0求d)星形线所围面积；e)绕x轴旋转所得旋转体的体积；f)星形线的全长．解：(1)D=40aydx=420asin3td()acos3t=12a202sin4tcos2tdt=12a202()sin4t−sin6tdt=38a2．(2)Vx=20ay2dx=220()asin3t2d()acos3t=6a302sin7tcos2tdt=32105a3(3)xt′=3acos2tsintyt′=3asin2tcostxt′2+yt′2=9a2sin2tcos2t，利用曲线的对称性，l=402xt′2+yt′2dt=4023asin2tcos2tdt=12a0214sin22tdt=6a02sin2tdt=[]3a()cos2t20=6a．9．求对数螺线are相应θ=0到θ=φ的一段弧长．解：l=0φr2+r′2dθ123=0φe2aθ+a2e2aθdθ=1+a2a()eaφ1．10．求半径为R，高为h的球冠的表面积．解：D=2RhRx1+x′2dy=2arcsinRhR2Rcosθ()Rcosθ′2+()Rsinθ′2dθ=2arcsinRhR2R2cosθdθ=2R2[]sinθ2arcsinRhR=2Rh．11．求曲线段y=x3(0x1)绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积．解：D=201y1+y′2dx=201x31+9x4dx=18·23()1+9x43210=27()10101．12．把长为10m，宽为6m，高为5m的储水池内盛满的水全部抽出，需做多少功？解：如图19，区间[x，x+dx]上的一个薄层水，有微体积dV=10·6·dx(19)设水的比重为1，，则将这薄水层吸出池面所作的微功为dw=x·60gdx=60gxdx．于是将水全部抽出所作功为w=0560gxdx124=60g2x250=750g(KJ)．13．有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m和6m，高为20m，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力．解：如图20，建立坐标系，直线AB的方程为y=x10+5．压力元素为dF=x·2ydx=2xx10+5dx所求压力为F=0202xx10+5dx=5x2115x3200=1467(吨)=14388(KN)14．半径为R的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取离水面，问做功多少？解：如图21，以切点为原点建立坐标系，则圆的方程为(x－R)2+y2=R2将球从水中取出需作的功相应于将[0，2R]区间上的许多薄片都上提2R的高度时需作功的和的极限。取深度x为积分变量，典型小薄片厚度为dx，将它由A上升到B时，在水中的行程为x；在水上的行程为2R－x。因为球的比重与水相同，所以此薄片所受的浮力与其自身的重力之和x为零，因而该片在水中由A上升到水面时，提升力为零，并不作功，由水面再上提到B时，需作的功即功元素为22222d(2)[π()d]π(2)[()]dπ(2)(2)dwRxgyxxgRxRxRxgRxRxxx所求的功为220222302223404π(2)(2)dπ(44)d41π2344π(KJ).3RRRwgRxRxxxgRxRxxxgRxRxxRg15．设有一半径为R，中心角为φ的圆弧形细棒，其线密度为常数ρ，在圆心处有一质量为m的质点，试求细棒对该质点的引力。解：如图22，建立坐标系，圆弧形细棒上一小段ds对质点N的引力的近似值即为引力元素（20）（21）125（图22）22dd(d)dddcoscosd,xkmskmkmFRRRRkmFFR则22022cosd2cosdsin2ddsinsindxykmkmkmFRRRkmFFR则22sind0.ykmFR故所求引力的大小为2sin2kmR，方向自N点指向圆弧的中点。16．求下列函数在[－a，a]上的平均值：22(1)()fxax;解：222222200111π1dd.arcsin2422aaaaaaxyaxxaxxxaxaaaa(2)2().fxx解：2223001111dd.233aaaaayxxxxxaaa17．求正弦交流电0iIsint经过半波整流后得到电流0πsin,0π2π0,Ittit的平均值和有效值。126解：ππ2π00π00021sind0dcosππππIIiItttt有效值201()dTIittT2ππ2π2222π000π2220001()d()d()d()d2π2πsind2π4TittittittittTIItt故有效值为02II.18．已知电压u(t)=