高等数学教学样板教案

高等数学教学样板教案授课次序07教学基本指标教学课题二次曲面课的类型新知识课教学方法讲授教学手段多媒体演示教学重点了解几种特殊二次曲面的方程及形状。教学难点判断二次曲面方程所对应的形状及球面坐标。参考教材武汉大学与同济大学编《微积分学习指导》安玉伟等编《高等数学定理方法问题》作业布置微积分标准化作业大纲要求了解常用二次曲面的方程及其形状。双语教学椭球：ellipsoid抛物面：paraboloids单（双）叶双曲面：hyperboloidofone（two）sheet教学基本内容第七节二次曲面二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之．相应地平面被称为一次曲面。讨论二次曲面性状的截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．一、椭球面1222222czbyax椭球面与三个坐标面的交线：102222zbyax102222yczax102222xczby椭球面与平面1zz的交线为椭圆czzzzccbyzccax12122222122221)()(同理与平面x=x1和y=y1的交线也是椭圆.椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面的几种特殊情况：备注栏旋转椭球面（1）1,222222czayaxba轴旋椭球面方程可写为1,12222222cyxczax（2）1,222222azayaxcba球面方程可写为：2222azyx二、抛物面zqypx2222，（p，q同号）。椭圆抛物面用截痕法讨论：设0,0qp（1）用坐标面)0(zxoy与曲面相截截得一点，即坐标原点)0,0,0(O原点也叫椭圆抛物面的顶点.与平面1zz)0(1z的交线为椭圆.11212122zzqzypzx当1z变动时，这种椭圆的中心都在z轴上.与平面1zz)0(1z不相交.（2）用坐标面)0(yxoz与曲面相截截得抛物线022ypzx与平面1yy的交线为抛物线.121222yyqyzpx它的轴平行于z轴，顶点qyy2,,0211（3）用坐标面)0(xyoz，1xx与曲面相截，均可得抛物线.同理当0,0qp时可类似讨论.椭圆抛物面的图形如下：特殊地：当qp时，方程变为zpypx2222)0(p旋转抛物面（由xoz面上的抛物线pzx22绕它的轴旋转而成的）与平面1zz)0(1z的交线为圆.11222zzpzyx当1z变动时，这种圆的中心都在z轴上.zqypx2222（p与q同号）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：设0,0qp三、双曲面1222222czbyax单叶双曲面（1）用坐标面)0(zxoy与曲面相截，截得中心在原点)0,0,0(O的椭圆.012222zbyax与平面1zz的交线为椭圆.122122221zzczbyax当1z变动时，这种椭圆的中心都在z轴上.（2）用坐标面)0(yxoz与曲面相截，截得中心在原点的双曲线.012222yczax实轴与x轴相合，虚轴与z轴相合.与平面1yy)(1by的交线为双曲线.122122221yybyczax双曲线的中心都在y轴上.,)1(221by实轴与X轴平行,虚轴与Z轴平行.,)2(221by实轴与Z轴平行,虚轴与X轴平行.,)3(1by截痕为一对相交于点)0,,0(b的直线.,0byczax.0byczax,)4(1by截痕为一对相交于点)0,,0(b的直线.,0byczax.0byczax（3）用坐标面)0(xyoz，1xx与曲面相截，均可得双曲线.平面ax的截痕是两对相交直线.1222222czbyax双叶双曲面四、小结椭球面、抛物面、双曲面、截痕法.（熟知这几个常见曲面的特性）练习题：一、求曲线30222zxzy在xoy面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线。二、画出下列各曲面所围成的立体的图形：1、4,2,1,0,0yzyxzx2、222222,,0,0,0RzxRyxzyx（在第一卦线内）练习题答案一、0922zxy位于平面3z上的抛物线。二、1、2、x1yzo2xyzoRRR