高等数学教案

精品课程教案第四节一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程1.定义：形如)()(xQyxPy的微分方程称为一阶线性微分方程特点：它对于未知函数y及其一阶导数y都是一次方程.例如xexyysincos，322xxyyx，0sin)1(2xxyyx都是一阶线性微分方程；而xyy2，1yy不是一阶线性微分方程.一阶线性微分方程又分为两类：一阶线性非齐次微分方程)()(xQyxPy（1）一阶线性齐次微分方程0)(yxPy（2）方程（2）称为方程（1）所对应的齐次线性微分方程.2.解法我们先求一阶线性齐次微分方程（2）0)(yxPy的通解.该方程也是变量可分离的微分方程，分离变量得dxxPdyy)(1两边积分得1)(lnCdxxPy，即dxxPCey)(（1CeC）为所求一阶线性齐次微分方程（2）的通解.下面我们用常数变易法来求一阶线性非齐次微分方程（1）)()(xQyxPy的通解.由于一阶线性非齐次微分方程（1）与它所对应的一阶线性齐次微分方程（2）的左端相同，故其解有一定的关系.设)(xyy是方程（1）的一个解，则有dxyxQdxxPdyy)()(1由于y是x的函数，所以yxQ)(也是x的函数，两边积分得dxyxQdxxPy)()(ln即dxyxQdxxPdxyxQdxxPeeey)()()()(显然dxyxQ)(是x的函数，所以dxyxQe)(也是x的函数，我们将其记为)(xu则dxxPexuy)()(（3）其形式类似于一阶线性齐次微分方程（2）的通解，不同的是一阶线性齐次微分方程（2）的通解中dxxPe)(前是常数C，而（3）式中是待定函数)(xu，可看作是将常数C变为函数)(xu所得，这种方法称为常数变易法.设dxxPexuy)()(为一阶线性非齐次微分方程（1）的解，则dxxPdxxPexPxuexuy)()()()()(将y、y代入方程（1），得)()()()()()()()()(xQexuxPexPxuexudxxPdxxPdxxP即dxxPexQxu)()()(，从而dxexQxudxxP)()()(，故一阶线性非齐次微分方程（1）的通解为])([)()(cdxexQeydxxPdxxP这就是一阶线性非齐次微分方程（1）的求解公式.例1求解25)1(12xxydxdy解12)(xxP，25)1()(xxQ])1([122512cdxexeydxxdxx])1([)1ln(225)1ln(2cdxexexx])1()1([)1(212cxdxx])1(32[)1(232cxx例2求解axyxy2解][22cdxeaxeydxxdxx][ln2ln2cdxeaxexx]1[132cdxxax]41[142cxax224xcax例3求解xexydxdycos5cot满足4|2xy的特解解]5[cotcoscotcdxeeeyxdxxdxx]5[sinlncossinlncdxeeexxx]sin5[sin1coscxdxexx]cos5[sin1coscxdexx]5[sin1coscexx将4|2xy代入上式得)5(4c，1c所求特解为)51(sin1cosxexy例4求解02)6(2yyxy解将x看为自变量，y为x的函数，该方程不是一阶线性微分方程但该方程可化为23yxydydx即以y为自变量，x为y的函数，这就是一阶线性非齐次微分方程]2[33cdyeyexdyydyy]2[ln3ln3cdyeyeyy]21[143cdyyy)101(153cyy3231011ycyy例5求解yxdxdy1解原方程化为yxdydx为一阶线性非齐次微分方程][cdyyeexdydy][cdyyeeyy][ceyeeyyyycey1二、伯努利方程形如nyxQyxPy)()(（1),0n的微分方程称为伯努利方程.方程两边除以ny，得)()(1xQyxPdxdyynn而)(111nnydndxdyy，因此，我们作变量代换，令nyz1，则dxdyyndxdzn)1(，原方程可化为一阶线性非齐次微分方程)()()1(xQzxPndxdz由一阶线性非齐次微分方程的求解公式求出z，再将nyz1代回即得原方程的通解.例6求解2)(lnyxaxydxdy解两边除以2y得：)(ln112xayxdxdyy令1yz，则dxdyydxdz2，即dxdzdxdyy2代入原方程得)(ln1xazxdxdz即)(ln1xazxdxdz])(ln[11cdxexaezdxxdxx]ln[lnlncdxexaexx]ln1[cdxxxax])(lnln[cxdxax])(ln2[2cxaxcxxxa2)(ln21yz2)(ln21xxacxy即1)ln2(2xacyx例7求解34232yxyxdxdy解两边除以34y得2313432xyxdxdyy(1)令31yz，则dxdyydxdz3431，即dxdzdxdyy334代入方程(1)得2323xzxdxdz即232xzxdxdz][32232cdxexezdxxdxx][ln322ln32cdxexexx][3432cdxxx)73(3732cxx将31yz代回，得3323173xcxy