高等数学极限与中值定理应用

(一)1.22limsin1xxxx22sin1lim()1xxxx洛必达法则222=lim1xxx22.sinlimxxxcoslim1xx13.30tansinlimxxxx30sinsincoslimxxxxx30sin(1cos)limcosxxxxx3302limxxx124.30sinlimxxxx201coslim3xxx16（二）1.若0sinlim(cos)xxxxbea5，求常数a，b0sinlim(cos)xxxxbea0sin(cos)limxxxxbea由等价无穷小可得a=10(cos)sin=lim5xxxbxxe4b2.若0x,2(),()1arcsincosxkxxxxx是等价无穷小，求常数K201arcsincoslim1xxxxkx201arcsincoslim(1arcsincos)xxxxkxxxx201arcsincoslim2xxxxkx20arcsinsin1lim4xxxxxkx'2201()cos11lim4xxxxxk314k34k3.证明当X0时，2(1)lnxx2(1)x22()(1)ln(1)fxxxx'1()2ln2(1)fxxxxxx则12ln2xxxx''21()2(ln1)1fxxx212ln1xx2211ln10xx再倒推可得：'()0fx()0fx(0)fx，所以2(1)lnxx2(1)x（三）1.设()fx在[0，a]上连续，在（0，a）内可导，且()0fa，，证明：(0,)a，使得'()()0ff。求原函数()()Fxxfx(0)()0FFa满足罗尔定律，所以'()0Fx即'()()0ff2.设()fx在[0，1]上连续，在（0，1）上可导。且(0)0,(1)1ff，证明（1）(0,1).()1cfcc推出（2）''(0,1)，有f()f()=1（）（1）()()1Fxfcc(0)1,(1)1FF由零点定理得(0,1)F(c)=0c有所以(0,1).()1cfcc推出（2）设(,),(,1)occ得'()(0)1()0fcfcfcc'(1)()()11ffccfcc所以''(0,1)，有f()f()=1（）