高等计量经济学第2章第2节

1§2.2变参数线性计量经济学模型在经典线性计量经济学模型中，以一元线性模型为例，在模型yxtttt=1,2,…,n(2.2.1)中，认为参数,在样本期内是常数，即认为产生样本观测值的经济结构保持不变，解释变量对被解释变量的影响保持不变。我们称之为常参数模型。但是，在实际上，真正的常参数模型只存在于假设之中，变参数的情况是经常发生的。如果将参数,作为变量，(2.2.1)就是一个变参数模型。根据参数变化类型不同，变参数模型以及估计方法也不同。下面仅介绍几类较简单然而较常用的变参数模型。一、确定性变参数模型将(2.2.1)写成变参数模型形式：yxtttttt=1,2,…,n(2.2.2)如果参数tt,是变量，但不是随机变量，而是确定性变量，那么称(2.2.2)为确定性变参数模型。经常出现的确定性变参数模型有以下几种类型。⒈参数随某一个变量呈规律性变化如果有ttttpp0101(2.2.3)其中参数0011,,,是常数。表示(2.2.2)中的参数随着某一个变量变化。在实际经济问题中，p往往是一个政策变量，表示由于政策的变化改变了解释变量对被解释变量的影响程度。例如，如果(2.2.1)是消费模型，描述消费是如何决定于收入的。从经济学意义上讲，参数表示边际消费倾向，边际消费倾向与边际储蓄倾向之和等于1，而边际储蓄倾向与当时的利率有关，所以边际消费倾向也随利率而变化，这时p表示利率。再如，如果(2.2.1)是一个生产函数模型，是由Cobb-Dauglass生产函数经过对数化后得到的，那么，从经济学意义上讲，参数表示某一种投入要素的产出弹性，根据一般规律，投入要素的产出弹性也是一个变数，例如它会随着不同投入要素之间的比例而变化，这时p表示不同投入要素的比例。将(2.2.3)代入(2.2.2)得到ypxpxtttttt0101t=1,2,…,n(2.2.4)因为p为确定性变量，与随机误差项不相关，可以用OLS方法估计(2.2.4)，得到参数估计量,,,0011。可以通过检验,11是否为0来检验变量p是否对,有影响。⒉参数作间断性变化如果有ttttpp0101当10100tnpntnptt(2.2.5)表示(2.2.2)中的参数在n0处发生了突发性变化。在实际经济问题中，往往表示某项政策的实施所产生的影响。例如，如果(2.2.1)是某种商品的出口模型，描述出口量是如何决定于国内总产量的。但是对于这种商品的出口政策在某一年发生了大的变化，之前是限制出口政策，之后是鼓励出口政策，于是就出现了(2.2.5)描述的情况。关于这类变参数模型的估计，又分3种不同情况。2⑴n0已知如果n0已知，则可以分段建立模型，分段估计模型。将(2.2.2)改写为：yxttt001t=1,2,…,n0yxttt()()01012t=n0+1,…,n(2.2.6)分别估计该两个方程，得到参数估计量,,,0011。也可以建立一个统一的模型：yDDxttttt()()0101t=1,2,…,n即yDxDxtttttt0101t=1,2,…,n(2.2.7)其中D为虚变量，其样本观测值为：10100tnDntnD直接估计(2.2.7)，得到参数估计量,,,0011。前一种方法是由G.C.Chow于1960年提出，被称为Chow方法；后一种方法是由Gujarati于1970年提出，被称为Gujarati方法。一些实例表明，两种方法得到的参数估计量具有很好的一致性。例2.2.1陈正澄用1964-1981年台湾个人收入和储蓄额的数据，对两种方法进行了验证。表2.2.1台湾个人收入和储蓄额的数据单位：百万新台币年份收入(X)储蓄(Y)年份收入(X)储蓄(Y)19648.80.36197315.50.5919659.40.21197416.70.90196610.00.08197517.70.95196710.60.20197618.60.82196811.00.10197719.71.04196911.90.12197821.11.53197012.70.41197922.81.94197113.50.50198023.91.75197214.30.43198125.21.99采用Chow方法，分别以1964-1972年和1973-1981年数据为样本，估计一元线性模型。得到..()..()YXYX112202645004741964197217501701504519731981采用Gujarati方法，以1964--1981年数据为样本，估计一元线性模型YXDDX1234()其中D的样本观测值为：D119641972019731981()()得到：)(1034.04843.11505.07502.1ˆDXDXY容易计算得到：..()..()YXYX1122026590047119641972175020150519731981与Chow方法的估计结果几乎完全相同。3该类模型可以很容易推广到多阶段和多解释变量的情况.⑵n0未知，但VarVartt()()12这时，一般可以选择不同的n0，按照⑴的方法进行试估计，然后从多次试估计中选择最优者。选择的标准是使得(2.2.6)中两段方程的残差平方和之和最小。⑶n0未知，且VarVartt()()12此时，将n0看作待估参数。模型采用(2.2.6)的形式，假设1120tN~(,)2220tN~(,)且不存在自相关。Goldfeld和Quandt于1973年研究并提出用最大或然法进行估计。构造关于n0的对数或然函数为：ln(,)ln()ln()lnLnnnnn20201022121200210()yxtttn12220101210(()())yxtttnn遍取1,2,…,n作为n0的可能值，代入对数或然函数，选择使得对数或然函数最大的n0值作为突变点的估计值。二、随机变参数模型对于模型(2.2.2)，如果参数tt,不仅是变量，而且是随机变量，那么称(2.2.2)为随机变参数模型。经常出现的随机变参数模型有以下几种类型。⒈参数在一常数附近随机变化如果模型参数只在一常数附近随机变化，即tttt其中tt,为具有0均值的随机项。于是有：yxttt(2.2.8)其中tttttttttttttttttttttttxEExExxxEEEEx0022222()()var()()()()()2222222xxtt()显然，模型(2.2.8)具有异方差性，而且已经推导出随机误差项的方差与解释变量之间的函数关系，所以可以采用经典线性计量经济学模型中介绍的估计方法，例如加权最小二乘法等方法很方便地估计参数。由Hildreth和Houck于1968年提出了如下的变参数模型：yxxxttttttktktt01122t=1,2,…,njtjjtVarjtj()2j=0,1,2,…,k被称为Hildreth-Houck模型。模型(2.2.8)是它的特殊情况，但模型(2.2.8)的分析与估计方法完全适用于Hildreth-Houck模型。⒉参数随某一变量作规律性变化，同时受随机因素影响在这种情况下，参数可以表示为：tttptttp4模型(2.2.2)表示为：ttttttttttxxpxpyt=1,2,…,n(2.2.9)容易导出(2.2.9)是一具有异方差性的多元线性模型，也可以采用经典线性计量经济学模型中介绍的估计方法，例如加权最小二乘法等方法很方便地估计参数。⒊自适应回归模型如果模型(2.2.2)yxtttttt=1,2,…,n中的参数t可以表示为：tttttEVar1120()()t则称该模型为自适应回归模型。它是由影响t的变量具有一阶自相关性所引起的。例如ttp0ppttt1则tttp01如果1，即具有较高程度自相关，于是有：ttt1就引出了自适应回归模型。而影响t的变量具有一阶自相关性是实际经济活动中常见的现象。例如，如果(2.2.2)是一个消费方程，t表示自发性消费（即在收入等于0时的消费水平），国家的消费政策（刺激、鼓励、一般或抑制的政策）使得自发性消费是一个随机变量，而国家的消费政策往往具有一阶自相关性，引起自发性消费也具有一阶自相关性。所以自适应回归模型在实际经济研究中是经常出现的。将ttt11代入(2.2.2)得到：yxttttt11(2.2.10)选择n1，则有nnnnnnn11111于是(2.2.10)写为：yxtttnnt11t=2,3,…,n相当于yxttt5VarVarCovnnnntt()()()()()()222113211132222121其中22当已知时，容易采用广义最小二乘法（GLS）估计模型参数；如果未知，可以选择不同的值试估计，选择拟合最好者。自适应回归模型的另一种形式是(2.2.2)中不变，具有一阶自相关。即yxttttttt11这类模型也是具有代表性的。例如，在消费方程中t表示边际消费倾向，在生产方程中t表示某种投入要素的产出弹性，而前面提到的影响边际消费倾向的利率、影响投入要素产出弹性的投入要素的比例，都具有一阶自相关性，引起t的一阶自相关性。假设VarVartt()()()122其中，01，为了简单但又失去一般性，可以假设,为单位阵。取n1类似于上面模型的推导和估计过程，完成该模型的估计。变参数计量经济学模型是计量经济学模型研究领域的一个重要方向，在其理论、方法与应用方面都有广泛的内容，以上只介绍其中最简单、然而是最常见的几种模型，作为概论与入门。