高三理科数学12月四校联考前立体几何必考题型训练谢谢

中山2014届高三理科数学12月四校联考前立体几何必考题型训练（猜题：雄哥）1．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了()A．6a2B．12a2C．18a2D．24a22．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的全面积为()A.3π2B．2πC．πD．4π3．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是()A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π4．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()A．2＋2B.1＋22C.2＋22D．1＋25．下面四个命题中，正确的有()①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合．②空间中四点A、B、C、D，惟一确定一个平面，则必定有三点不共线．③若四边形有两个对角是直角，则这个四边形是圆内接四边形．④四边相等的四边形是菱形．A．1个B．2个C．3个D．4个6．已知两条相交直线a、b，a∥平面α，则b与α的位置关系()A．b∥αB．b与α相交C．b⊂αD．b∥α或b与α相交7．给出下列结论(1)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行．(2)过直线外一点，有且只有一个平面与已知直线平行．(3)a、b是异面直线，则过b存在惟一一个平面与a平行．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点，则EF与平面BB1D1D的位置关系是()A．EF∥平面BB1D1DB．EF与平面BB1D1D相交C．EF⊂平面BB1D1DD．EF与平面BB1D1D的位置关系无法判断9．下列命题中，正确命题的个数是()①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b异面③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交④若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面A．1个B．2个C．3个D．4个10．下面命题中正确的是()①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行A．①③B．②④C．②③④D．③④11．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题①a∥cb∥c⇒a∥b;②a∥γb∥γ⇒a∥b；③α∥cβ∥c⇒α∥β；④α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤α∥ca∥c⇒α∥a;⑥a∥γα∥γ⇒a∥α.其中正确的命题是()A．①②③B．①④⑤C．①④D．①③④12．(07·北京)平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α13．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，CC1＝1，一条绳子从A沿着表面拉到点C1，求绳子的最短长度是________14．(山东枣庄高一期末)已知四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P－ABCD的体积为________，其外接球的表面积为________．15．如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为，母线长为10，则圆台的侧面积为16．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为_____．17．如图，AB是圆O的直径，C是异于A、B的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，AC＝3，PA＝4，AB＝5，则直线PB与平面PAC所成角的正弦值为________．18．▱ABCD的对角线交点为O，点P在▱ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的位置关系是________．19．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，则点P到对角线BD的距离是_____．20．如图，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝a.(1)二面角A－PD－C的度数为________；(2)二面角B－PA－D的度数为________；(3)二面角B－PA－C的度数为________；(4)二面角B－PC－D的度数为________．解答1．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAD；(2)若MN＝BC＝4，PA＝43，求异面直线PA与MN所成的角的大小．2．(09·天津文)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝22(1)证明PA∥平面BDE；(2)证明AC⊥平面PBD.3．如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F.(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD.\1[答案]B[解析]原来正方体表面积为S1＝6a2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为13a，其表面积为6×13a2＝23a2，总表面积S2＝27×23a2＝18a2，∴增加了S2－S1＝12a2.2答案]A[解析]由三视图可知，该几何体是底半径为12，高为1的圆柱，故其全面积S＝2π×122＋2π×12×1＝3π2.3[答案]A[解析]设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h＝2πr，∴S全＝2πr2＋2πr·h＝2πr2(1＋2π)又S侧＝h2＝4π2r2，∴S全S侧＝1＋2π2π.[点评]圆柱的侧面展开图是一个矩形，矩形两边长分别为圆柱底面周长和高；圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为圆锥的母线，弧长为圆锥底面周长；圆台侧面展开图是一个扇环，其两段弧长为圆台两底周长，扇形两半径的差为圆台的母线长，对于柱、锥、台的有关问题，有时要通过侧面展开图来求解．4[答案]A[解析]还原成原平面图形后是一个上、下底分别为1和2＋1，高为2的直角梯形，其面积S＝12[1＋(2＋1)]×2＝2＋2.5[答案]A[解析]①三点共线时，两平面可能相交；②若四点惟一确定一个平面，则至少有三个点不共线；③④都把平面几何的结论搬到立体几何中来，都不对，故只有②对．6[答案]D[解析]如图，a、b为异面直线，c、d分别与a、b都相交．图(1)中c、d异面，图(2)中c、d相交．7[答案]A[解析](1)错(2)错(3)正确在b上取一点B，过这点平行于a的直线只有一条a′，b与a′确定唯一平面α，且a∥α.8[答案]A[证明]取D1B1的中点O，连OF，OB，∵OF綊12B1C1，BE綊12B1C1，∴OF綊BE，∴四边形OFEB为平行四边形，∴EF∥BO∵EF⊄平面BB1D1D，BO⊂平面BB1D1D，∴EF∥平面BB1D1D，故选A.9[答案]B[解析]由α∥β，a⊂α，b⊂β知，a、b位置关系为平行或异面，③④正确故选B.10[答案]D11[答案]C[解析]①三线平行公理②两直线同时平行于一平面，这二直线可相交，平行或异面，③二平面同时平行于一直线，这两个平面相交或平行，④面面平行传递性，⑤一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平面平行或直线在平面内，⑥一直线和一平面同时平行于另一平面，这直线和平面可能平行也可能直线在平面内，故①、④正确．12[答案]D[解析]①当平面α、β外的直线a平行于α与β的交线时，a∥α，a∥β，但α与β相交．②如图(1)可知B错．③如图(2)可知C错．④在直线b上取点B，点B与直线a确定一个平面γ，交β于a′，∵a∥β，∴a∥a′.∵a′⊄α，a⊂α，∴a′∥α.又∵b∥α，a′∩b＝B，∴β∥α.[13解析]绳子的最短长度有三种情况，如下图：图(1)是将面ABB1A1与A1B1C1D1展开，AC′1＝32；图(2)是由A经过面ABB1A1和BCC1B1到C1，AC′1＝26；图(3)是由A经过面ABCD和BCC1B1到C1，AC′1＝25.比较上述三种情况知，AC′1最小为32.[点评](1)防止只画出一个图形就下结论，或者以为长方体的对角线AC1＝a2＋b2＋c2是最短线路．(2)解答多面体表面上两点间最短线路问题，一般地都是将多面体表面展开，转化为求平面内两点间线段长．15[解析]圆台的轴截面如图，设上底半径为r，则下底半径为4r，高为4r.因为母线长为10，所以在轴截面等腰梯形中，有102＝(4r)2＋(4r－r)2.解得r＝2.所以S圆台侧＝π(r＋4r)·10＝100π，16[解析]取B1D1中点O，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∵A1B1＝B1C1＝2，∴C1O⊥B1D1，又C1O⊥BB1，C1O⊥平面BB1D1D，∴∠C1BO为直线C1B与平面BB1D1D所成的角，在Rt△BOC1中，C1O＝2，BC1＝BC2＋CC21＝5，∴sin∠OBC1＝105.17[答案]44141[解析]∵PA⊥平面ABC∴PA⊥BC，又BC⊥AC∴BC⊥平面PAC，∴∠BPC为直线PB与平面PAC所成的角．在Rt△PAB中，PA＝4，AB＝5，∴PB＝41，在Rt△ABC中，AC＝3，AB＝5，∴BC＝4，∴sin∠BPC＝BCPB＝44141.18[答案]垂直[解析]∵PA＝PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC.同理可得PO⊥BD.∵AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD.18[答案]135[解析]因为AB＝3，BC＝4，所以BD＝5，过A作AE⊥BD，连接PE，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，∵PA∩AE＝A，∴BD⊥平面PAE，∴PE⊥BD，在△ABD中，AE＝125，所以PE＝12＋1252＝135.20[答案]90°；90°；45°；120°[解析](1)PA⊥平面ABCD∴PA⊥CD又ABCD为正方形，∴CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，又CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD，∴二面角A－PD－C为90°.(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA∴∠BAD为二面角B－AP－D的平面角又∠BAD＝90°，∴二面角B－AP－D为90°(3)PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角又ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°即二面角B－PA－C为45°(4)作BE⊥PC于E，连DE则由△PBC≌△PDC知∠BPE＝∠DPE从而△PBE≌△PDE∴∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE∴∠BED为二面角B－PC－D的平面角∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，∴BE＝PB·BCPC＝63a，BD＝2a∴取BD中点O，则sin∠BEO＝BOBE＝32，∴∠BEO＝60°，∴∠BED＝120°∴二面角B－PC－D的度数为120°.解答1[解析](1)取PD的中点H，连结AH，NH，∵N是PC的中点，∴NH綊12DC.由M是AB的中点，∴NH綊AM，即四边形AMNH为平行四边形．∴MN∥AH.由MN⊄平面PAD，AH⊂平面PAD，∴MN∥平面PAD.(2)连结AC并取其中点O，连结OM、ON，∴OM綊12BC，ON綊12PA.∴∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角，由MN＝BC＝4，PA＝43，得OM＝2，ON＝23.∴MO2＋ON2＝MN2，∴∠ONM＝30°，即异面直线PA与MN成30°的角．2[解析](1)证明：设AC∩BD＝H，连结EH.在△ADC中，因为AD＝CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点．又由题设，E为PC的中点，故EH∥PA.又EH⊂平面BDE且PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE.(2)证明：因为PD⊥平面ABCD，