高三理科数学不等式的性质不等式证明的几种常见方法

高三数学---------不等式复习不等式的性质、不等式证明的几种常见方法比较法、综合法、分析法、换元法和放缩法等。不等式的性质是不等式证明和求解不等式的理论基础和前提条件。比较法是证明不等式的最基本的方法，它思维清晰，可操作性强，适用范围广泛，在不等式证明中常常采用。比较法通常分两类：第一、作差与零比较，作差后常需要把多项式因式分解，再由各因式的符号来确定差与零的大小；第二、作商与1比较，但要注意除式的符号，作商后常需把分子分母因式分解后约分再与1进行大小比较。综合法常常用到如下公式：（1）22ba≥2ab(a,b∈R)(2)2ba≥),(Rbaab(3)baab≥2(a.b0)(4)222ba≥),()2(2Rbaba(5)3cba≥),,(3Rcbaabc利用综合法证明不等式时常需要进行灵活的恒等变形,创造条件去运用公式。对于不能直接分析出如何用综合法来证明的不等式，我们可以采用分析法，执果索因，从要证明的结论出发，去追逆它要成立的条件，得到要证明的结论就是已知条件或已有的公式，从而说明所证不等式成立。另外，换元法、放缩法等对较复杂的不等式的证明也很有帮助。例1、设12a0,试比较A=1+a2与B=a11的大小。解：A-B=aaaaaa111111322=1)1(1223aaaaaaaa∵01,2aaRa恒成立.由条件知021a,∴a-10,∴A-B0即AB.例2、设a.b∈R+,求证aabb≥abba分析:这里所证的不等式的左、右两边均正，且都为乘积的形式，所以可以考虑作商与1比较，转化为运用指数函数的性质来证明。证明：baabbaabbababababa)(10当a≥b时,ba≥1,a-b≥0，由指数函数的性质可知baba)(≥1.20当ab时,10ba,a-b0,同理可得baba)(≥1,综上所述,baba)(≥1即aabb≥abba.例3、设a0且a≠1,mn0,求证:nnmmaaaa11.分析：这类不等式显然不解直接用综合法来证明，因此仍考虑用比较法，而所证不等式左、右均为几个因式的代数和的形式，因此常采用作差与0比较的方法。证明：nnmmaaaa11=)(*)11)(()(nmnmnmmnnmaaaaaaaaa10当0a1时,∵mn0,∴aman而011nma,∴(*)式020当a1时,∵mn0,∴aman011nma,∴(*)式0∴当a0且a≠1时.(*)式恒正,即nnmmaaaa11.例4、设a.b.c∈R+,求证:)2(2abba≤)3(33abccba分析：初看上去似乎与基本不等式有关，但若直接运用基本不等式，仅能得到所证不等式两端均非负，仍然不能证到原不等式成立。若注意到把两端括号去掉，则出现了相同项a+b，因此可以考虑用比较法来证明。证明一、)2(2)3(33abbaabccba=333)(32abcababcabcabc∵a.b.c∈R+,∴ababc≥3333abcababc∴332abcabc≥0,即所证不等式成立.证明二、∵)2(2)3(33abbaabccba=,323abcabc令,,36ycxab∵a.b.c∈R+，∴x,y∈R+yxxxyxyxyabcabc23333233332332=(y2+xy+x2)(y-x)+3x2(x-y)=(y-x)(x2+xy-2x2)=(y-x)(y-x)(y+2x)=(y-x)2(y+2x)≥0并且仅当x=y即c2=ab时“=”成立。∴)2(2abba≤)3(33abccba.说明:证法一运用了基本不等式,关键是对332abcabc进行恒等变形,创造条件运用基本不等式;证法二采用了换元法,关键是如何假设变量才解使差式化简。例5、当n2时，求证：logn(n-1).logn(n+1)1证明：∵n2.∴logn(n-1)0.logn(n+1)0∴logn(n-1).log(n+1)22)1(log)1(lognnnn=12log2)1(log2222nnnn∴原不等式成立.说明:该题所证的结论即为n2时,logn-1nlogn(n+1),此结论应记住,它对我们今后的学习也是很有帮助的,由它可以得到一连串不等式:log2324log2425log2526lup2627……。例6、设a.b.c∈R+,求证:)111)((accbbacba≥29.分析:如果把因式a+b+c乘到括号内,则所证不等式左边较复杂,很难看出用什么方法去证明,若我们注意分析该不等式左边的特征,它与三个变元的均值不等式的左边很类似,再联想到结论:当x.y.z∈R+时,)111)((zyxzyx≥9就不难得到证明了.证明:∵a.b.c∈R+∴accbba111≥3))()((13accbba而2(a+b+c)=［(a+b)+(b+c)+(c+a)］≥3))()((3accbba∴)111()(2accbbacba≥9即)111)((accbbacba≥29.说明:掌握了此类不等式的证明方法后,与此类似的不等式,如10若a.b.c∈R+且a+b+c=1求证:accbba111≥2920若a.b.c∈R+,则acbcbabac≥23等等就不难证明了.例7、已知：a12+a22+…+an2=1,x12+x22+…+xn2=1,n∈N求证:a1x1+a2x2+…+anxn≤1证明:∵a12+x12≥2a1x1,a22+x22≥2a2x2……an2+xn2≥2anxn,相加得,(a12+a22+…an2)+(x12+x22+…+xn2)≥2(a1x1+…+anxn)即a1x1+a2x2+…+anxn≤1.例8、若a≥3,求证：321aaaa证法一：若证原不等式成立，只要证213aaaa成立，要证此不等式成立，只要证a2-3aa2-3a+2,即证02,而此式显然成立,又以上各步均可逆,∴原不等式成立.证法二:若证原不等式成立,只要证32111aaaa成立,只要证321aaaa成立,而此式显然成立,∴321aaaa.例9、已知ab0,求证：bbaabbaaba8)(28)(22证明：若证原不等式成立，只要证：bbaabbaaba4)(24)(22，只要证明222)2()()2(bbabaaba，只要证bbabaaba220，只要证abaaba212，只要证bbaaba2只要证121baab即证baab1即证baab1成立，∵ab0的此式显然成立,又以上各步均可逆,∴原不等式成立.例10、若，则baffba)()()(1)(2baxxf。证法一、要证baba2211只要证bababa222211，只要证11122baba即证：baba2211∵bbbaaa22221,1,∴baba2211≥ba∴(*)式成立,∴原不等式成立证法二、如图，设A（1,a）,B(1,b),则baABbOBaOA,1,122，由于三角形两边之差的绝对值小于第三边，即BAOBOA，∴babfafbaba)()(1122即说明:证法一是运用分析法证明的,在对2211ba变形时采用了分子有理化的手段,这种变形方法有着较广泛的运用,证法二是构造了一个三角形,其三边恰好分别是21a、bab和21，然后借助于三角形本身的关系来证明，这种通过构造图形的方法，往往可以化难为易，化繁为简，体现了数学中的数形结合的思想，要引起我们高三复习时注意。YA(1,a)O1XB(1,b)