高考一轮复习函数及其表示

我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网第1讲函数及其表示【2013年高考会这样考】1．主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法．2．考查分段函数的简单应用．3．由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查．【复习指导】正确理解函数的概念是学好函数的关键，函数的概念比较抽象，应通过适量练习弥补理解的缺陷，纠正理解上的错误．本讲复习还应掌握：(1)求函数的定义域的方法；(2)求函数解析式的基本方法；(3)分段函数及其应用．基础梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫值域．值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据．2．函数的三种表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．3．映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．一个方法求复合函数y＝f(t)，t＝q(x)的定义域的方法：①若y＝f(t)的定义域为(a，b)，则解不等式得a＜q(x)＜b即可求出y＝f(q(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域．两个防范(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域．(2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性．三个要素函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．函数是特殊的映射，映射f：A→B的三要素是两个集合A、B和对应关系f.双基自测1．(人教A版教材习题改编)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为()．A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)解析∵3x＋1＞1，∴f(x)＝log2(3x＋1)＞log21＝0.答案A2．(2011·江西)若f(x)＝1log122x＋1，则f(x)的定义域为()．A.－12，0B.－12，0C.－12，＋∞D．(0，＋∞)解析由log12(2x＋1)＞0，即0＜2x＋1＜1，解得－12＜x＜0.我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网答案A3．下列各对函数中，表示同一函数的是()．A．f(x)＝lgx2，g(x)＝2lgxB．f(x)＝lgx＋1x－1，g(x)＝lg(x＋1)－lg(x－1)C．f(u)＝1＋u1－u，g(v)＝1＋v1－vD．f(x)＝(x)2，g(x)＝x2答案C4．(2010·陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为()．A．y＝x10B．y＝x＋310C．y＝x＋410D．y＝x＋510解析根据规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，即余数分别为7、8、9时可增选一名代表．因此利用取整函数可表示为y＝x＋310.故选B.答案B5．函数y＝f(x)的图象如图所示．那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．解析任作直线x＝a，当a不在函数y＝f(x)定义域内时，直线x＝a与函数y＝f(x)图象没有交点；当a在函数y＝f(x)定义域内时，直线x＝a与函数y＝f(x)的图象有且只有一个交点．任作直线y＝b，当直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有交点，则b在函数y＝f(x)我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网的值域内；当直线y＝b与函数y＝f(x)的图象没有交点，则b不在函数y＝f(x)的值域内．答案[－3,0]∪[2,3][1,5][1,2)∪(4,5]考向一求函数的定义域【例1】►求下列函数的定义域：(1)f(x)＝|x－2|－1log2x－1；(2)f(x)＝lnx＋1－x2－3x＋4.[审题视点]理解各代数式有意义的前提，列不等式解得．解(1)要使函数f(x)有意义，必须且只须|x－2|－1≥0，x－10，x－1≠1.解不等式组得x≥3，因此函数f(x)的定义域为[3，＋∞)．(2)要使函数有意义，必须且只须x＋10，－x2－3x＋40，即x－1，x＋4x－10，解得：－1x1.因此f(x)的定义域为(－1,1)．求函数定义域的主要依据是(1)分式的分母不能为零；(2)偶次方根的被开方式其值非负；(3)对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.【训练1】(2012·天津耀华中学月考)(1)已知f(x)的定义域为－12，12，求函数y＝fx2－x－12的定义域；(2)已知函数f(3－2x)的定义域为[－1,2]，求f(x)的定义域．我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网解(1)令x2－x－12＝t，知f(t)的定义域为t－12≤t≤12，∴－12≤x2－x－12≤12，整理得x2－x≥0，x2－x－1≤0⇒x≤0或x≥1，1－52≤x≤1＋52，∴所求函数的定义域为1－52，0∪1，1＋52.(2)用换元思想，令3－2x＝t，f(t)的定义域即为f(x)的定义域，∵t＝3－2x(x∈[－1,2])，∴－1≤t≤5，故f(x)的定义域为[－1,5]．考向二求函数的解析式【例2】►(1)已知f2x＋1＝lgx，求f(x)；(2)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．[审题视点](1)用代换法求解；(2)构造方程组求解．解(1)令t＝2x＋1，则x＝2t－1，∴f(t)＝lg2t－1，即f(x)＝lg2x－1.(2)x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①以－x代x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②由①②消去f(－x)得f(x)＝23lg(x＋1)＋13lg(1－x)，x∈(－1,1)．求函数解析式的方法主要有：(1)代入法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)解函数方程等．【训练2】(1)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的表达式．我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网(2)已知f(x)＋2f(1x)＝2x＋1，求f(x)．解(1)由题意可设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1∴2a＋b＝b＋1，a＋b＝1，解得a＝12，b＝12.因此f(x)＝12x2＋12x.(2)由已知得fx＋2f1x＝2x＋1，f1x＋2fx＝2x＋1，消去f1x，得f(x)＝4＋x－2x23x.考向三分段函数【例3】►(2011·辽宁)设函数f(x)＝21－x，x≤1，1－log2x，x＞1，则满足f(x)≤2的x的取值范围是()．A．[－1,2]B．[0,2]C．[1，＋∞)D．[0，＋∞)[审题视点]对于分段函数应分段求解，最后再求其并集．解析f(x)≤2⇔x≤1，21－x≤2或x＞1，1－log2x≤2⇔0≤x≤1或x＞1，故选D.答案D分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题，如本例中，需分x≤1和x＞1时分别解得x的范围，再求其并集．【训练3】(2011·江苏)已知实数a≠0，函数f(x)＝2x＋a，x＜1，－x－2a，x≥1.若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．解析分类讨论：(1)当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1.我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网这时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a；f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.由f(1－a)＝f(1＋a)，得2－a＝－1－3a，解得a＝－32，不符合题意，舍去．(2)当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1，这时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a；f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a，由f(1－a)＝f(1＋a)，得－1－a＝2＋3a，解得a＝－34.综合(1)，(2)知a的值为－34.答案－34阅卷报告1——忽视函数的定义域【问题诊断】函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．如果是复合函数，应该根据复合函数单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调区间．由于思维定势的原因，考生容易忽视定义域，导致错误．【防范措施】研究函数的任何问题时，把求函数的定义域放在首位，即遵循“定义域优先”的原则．【示例】►求函数y＝log13(x2－3x)的单调区间．错因忽视函数的定义域，把函数y＝log13t的定义域误认为R导致出错．实录设t＝x2－3x.我爱学习网在线学习网分享学习方法励志人生我爱学习网∵函数t的对称轴为直线x＝32，故t在－∞，32上单调递减，在32，＋∞上单调递增．∴函数y＝log13(x2－3x)的单调递增区间是－∞，32，单调递减区间是32，＋∞.正解设t＝x2－3x，由t＞0，得x＜0或x＞3，即函数的定义域为(－∞，0)∪(3，＋∞)．函数t的对称轴为直线x＝32，故t在(－∞，0)上单调递减，在()3，＋∞上单调递增．而函数y＝log13t为单调递减函数，由复合函数的单调性可知，函数y＝log13(x2－3x)的单调递增区间是(－∞，0)，单调递减区间是(3，＋∞)．【试一试】求函数f(x)＝log2(x2－2x－3)的单调区间．[尝试解答]由x2－2x－3＞0，得x＜－1或x＞3，即函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．令t＝x2－2x－3，则其对称轴为x＝1，故t在(－