高考中常见的三角函数型的最值问题及其解法

DBFQDFDFZHUOYUE四川特产输血反应葡*京*娱*乐*场PUJINGYULECHANG.ME1常见的三角函数型函数的最值问题及其解法三角函数型函数的最值（或值域）问题除了可以按照一般函数的最值（或值域）问题来考虑外，还要紧密结合三角函数自身性质，综合考虑，因此，掌握好解决三角函数型函数的最值（或值域）问题的各种基本方法，才能从容应对，以不变应万变。本文仅讨论最值问题，所有讨论对求值域问题同样适用.基本型1：sin()(cos())yaxbyaxb方法：直接利用三角函数的有界性和单调性来求解.例1：求sin(2)4yaxb的最大值，其中0,,aab均为常数.解析：因为自变量x的范围没有任何限制，因此由正弦函数的有界性得到1sin(2)14x，并且注意到0a，所以当sin(2)14x时，函数y取得最大值为ab。点评：本题中的自变量x没有任何范围限制，比较简单。而高考中往往对自变量x有一定的范围限制，所以在平时的练习时，一定要注意自变量x的范围.例如在本例题中将x的范围限定成[,]84，此时首先根据函数的单调性得出2sin(2)124x，然后再求出函数y的最值.基本型2：sincosyaxbxc方法：利用22sincossin()(tan)baxbxabxa，将基本型2转化为基本型1来处理，即转化为一个三角函数名.例2：求sin22cos23yxx的最大值。解析：125(sin2cos2)35sin(2)355yxxx，其中1cos5，2sin5.由于自变量x的范围没有任何限制，所以55sin(2)5x.从而原函数y的最大值为53.点评：（1）这种基本型非常重要，在高考考题中出现的频率较高.（2）当自变量x有范围限制时，我们在转化时往往是可以根据三角函数的值求出的，我们一般选择为[,]上的角即可.基本型3：sin(sincos)(cos(sincos))yaxbxdxcyaxbxdxcDBFQDFDFZHUOYUE四川特产输血反应葡*京*娱*乐*场PUJINGYULECHANG.ME2方法：利用倍角公式：221cos21cos2sin2sin,cos,sincos222xxxxxxx，将它转化为基本型2.例3：求函数2sin(2cossin)3yxxx的最大值.解析：由24sincos2sin3yxxx1cos22sin2232xx2sin2cos22xx5sin(2)2x，因此函数y的最大值为52.小结：上面的基本型1，2，3的思想就是将待求的函数转化为只含有一个三角函数名的形式，利用三角函数的有界性和单调性来处理三角函数型函数的最值问题.基本型4：22sinsin(coscos)yaxbxcyaxbxc方法：利用换元法，将函数转化为二次函数，然后利用二次函数在给定的区间上问题处理求最值.例4：求函数22sin4sin1yxx的最值.解析：令sinxt，则11t，并且有：2241ytt。问题转化为对二次函数2241ytt（11t），求函数y的最值问题。利用二次函数的单调性就可以得到：maxmin7,1yy.点评：（1）利用换元法时，要立即写出新元的范围.（2）对于22sincoscossinyaxbxcyaxbxc或，利用22sincos1xx，可以立刻转化为基本型4.基本型5：(sincos)sincosyaxxbxxc方法：令sincosxxt，平方后得到sincosxx用t表示的表达式，此时就可以将原问题转化为二次函数求最值问题.例5：求2(sincos)sincos3yxxxx的最小值.解析：令sincostxx，则由基本型2可以求得22t，并且有21sincos2txx.问题转化为求二次函数2152(22)22yttt的最小值问题，根据二次函数的知识，容易求得min7222y.小结：上面的基本型4，5的思想就是利用换元法将原函数的函数转化为新元的二DBFQDFDFZHUOYUE四川特产输血反应葡*京*娱*乐*场PUJINGYULECHANG.ME3次函数，然后利用二次函数求最值的知识来解题.基本型6：sincos()sincosmxbmxbyynxdnxd方法：利用换元法将原函数转化成()mxbyxInxd型的分式函数求最值问题.例6：求函数sin12sin3xyx的最值.解析：令sinxt，则11t，并且有123tyt。因此原问题就转化为求函数123tyt（11t）的最值问题.由1152322(23)tytt，利用单调性立刻可知22(23)10t，即有15522(23)2t，因此55122(23)2t，从而得到maxmin0,2yy.点评：（1）在sinsinmxbynxd中，若0n，则问题转化为基本型1；若0m，则利用换元法，问题就转化为求bymxd()xI型函数值域的问题，比较简单.（2）对于特殊的分式函数求值域问题，我们应熟练掌握。同时像基本型6，再如，xxmabynad，loglogxaxambynd等，我们都可以利用换元法将上述函数转化为()mxbyxInxd型的分式函数来处理.（3）若要求函数2sinsinsinaxbxcydxf的最值问题，我们仍然可以利用换元法，将它转化为2()axbxcyxIdxf型的分式函数求最值问题.小结：上面的基本型6的思想就是利用换元法将原函数的函数转化为新元的分式函数，然后利用分式函数求最值的知识来解题.基本型7：sincos()cossinaxbaxbyycxdcxd方法：将函数y写成sin()cos()bxaadcxc，然后利用斜率公式来求解.例7：求3sin32cos10xyx的最值.DBFQDFDFZHUOYUE四川特产输血反应葡*京*娱*乐*场PUJINGYULECHANG.ME4解析：3sin12cos(5)xyx，令sin1cos(5)xkx，则k表示点(cos,sin)Pxx和点(5,1)Q的斜率，而点(cos,sin)Pxx在单位圆上，过Q点作单位圆的两条切线，可知205k，因此得到maxmin30,5yy.小结：转化为斜率这样一个几何量，利用几何意义来求最值.基本型8：利用导数来求三角函数型函数的最值例8：某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm.（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短.解析：（1）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ(rad)，则10coscosAQOABAO，故10cosOB又1010OPtan，所以10101010coscosyOAOBOPtan所求函数关系式为2010sin10(0)cos4y②若OP=x(km)，则OQ=10-x，所以222(10)1020200OAOBxxx所求函数关系式为2220200(010)yxxxx（2）选择函数模型①，2210coscos(2010sin)(sin)10(2sin1)'coscosy令'0y得1sin2046当(0,)6时'0y，y是θ的减函数；当(,)64时'0y，y是θ的增函数；所以当6时，min120102101031032yBCDAOPDBFQDFDFZHUOYUE四川特产输血反应葡*京*娱*乐*场PUJINGYULECHANG.ME5此时点O位于线段AB的中垂线上，且距离AB边1033km处.点评：该例是2008江苏高考试卷第17题，考查函数的概念、解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力。其中利用导数研究函数单调性进而求最值是解决本题的关键之一，要求学生对导数的计算公式以及解基本的三角不等式必须熟练.小结：近年来，由于高中导数内容的加入，函数的最值（或值域）问题变得越来越活跃，然而很多学生对于导数在求三角函数型函数的最值（或值域）问题中的应用仍比较陌生，应引起充分的重视.本文讨论了在高考中几种常见的三角函数型的函数的最值问题的求解方法。通过我们的分析可知，对三角函数型函数的最值问题的求解主要有如下方法：一是将函数转化为只含有一个三角函数名的形式，利用三角函数本身的有界性和单调性来解题，如基本型1，2，3；二是利用换元法将三角函数型求最值问题转化为求二次函数在定区间上的最值问题，如基本型4，5；三是利用换元法将三角函数型求最值问题转化为求分式函数在定区间上的最值问题，如基本型6及其点评（3）；四是将一些特殊的问题转化为斜率问题；最后要重视利用导数来研究三角函数型函数的单调性进而求最值的方法杨原明西安交通大学苏州附属中学邮编215021