高考中的圆锥曲线问题

-1-高考专题突破高考中的圆锥曲线问题考点自测1．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)和椭圆x216＋y29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为____________．答案x24－y23＝1解析由题意得，双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦点坐标为(7，0)，(－7，0)，c＝7；且双曲线的离心率为2×74＝72＝ca⇒a＝2，b2＝c2－a2＝3，双曲线的方程为x24－y23＝1.2．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)与抛物线y2＝2px(p0)有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为____________．答案2－1解析因为抛物线y2＝2px(p0)的焦点F为p2，0，设椭圆另一焦点为E.当x＝p2时代入抛物线方程得y＝±p，又因为PQ经过焦点F，所以Pp2，p且PF⊥OF.所以|PE|＝p2＋p22＋p2＝2p，|PF|＝p，|EF|＝p.故2a＝2p＋p,2c＝p，e＝2c2a＝2－1.3．若双曲线x2a2－y23＝1的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为()A．1B．2C．3D．6答案B解析双曲线x2a2－y23＝1的渐近线方程为y＝±3ax，即3x±ay＝0，圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为C(2,0)，半径为r＝2，如图，由圆的弦长公式得弦心距|CD|＝22－12＝3，另一方面，圆心-2-C(2,0)到双曲线x2a2－y23＝1的渐近线3x－ay＝0的距离为d＝|3×2－a×0|3＋a2＝233＋a2，所以233＋a2＝3，解得a2＝1，即a＝1，该双曲线的实轴长为2a＝2.4．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线与抛物线y＝x2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是()A．[3，＋∞)B．(3，＋∞)C．(1,3]D．(1,3)答案A解析依题意可知双曲线渐近线方程为y＝±bax，与抛物线方程联立消去y得x2±bax＋2＝0.∵渐近线与抛物线有交点，∴Δ＝b2a2－8≥0，求得b2≥8a2，∴c＝a2＋b2≥3a，∴e＝ca≥3.5．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则OA→·OB→等于()A.34B．－34C．3D．－3答案B解析方法一(特殊值法)抛物线的焦点为F12，0，过F且垂直于x轴的直线交抛物线于A(12，1)，B(12，－1)，∴OA→·OB→＝12，1·12，－1＝14－1＝－34.方法二设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则OA→·OB→＝x1x2＋y1y2.由抛物线的过焦点的弦的性质知：x1x2＝p24＝14，y1y2＝－p2＝－1.-3-∴OA→·OB→＝14－1＝－34.题型一圆锥曲线中的范围、最值问题例1如图所示，在直角坐标系xOy中，点P(1，12)到抛物线C：y2＝2px(p0)的准线的距离为54.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB的中点Q(m，n)在直线OM上．(1)求曲线C的方程及t的值；(2)记d＝|AB|1＋4m2，求d的最大值．思维点拨(2)用点差法求kAB，用m表示出|AB|，利用基本不等式求最值．解(1)y2＝2px(p0)的准线x＝－p2，∴1－(－p2)＝54，p＝12，∴抛物线C的方程为y2＝x.又点M(t,1)在曲线C上，∴t＝1.(2)由(1)知，点M(1,1)，从而n＝m，即点Q(m，m)，依题意，直线AB的斜率存在，且不为0，设直线AB的斜率为k(k≠0)．且A(x1，y1)，B(x2.y2)，由y21＝x1，y22＝x2，得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2，故k·2m＝1，∴直线AB的方程为y－m＝12m(x－m)，即x－2my＋2m2－m＝0.由x－2my＋2m2－m＝0，y2＝x消去x，整理得y2－2my＋2m2－m＝0，∴Δ＝4m－4m20，y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－m.从而|AB|＝1＋1k2·|y1－y2|-4-＝1＋4m2·4m－4m2＝21＋4m2m－m2.∴d＝|AB|1＋4m2＝2m1－m≤m＋(1－m)＝1，当且仅当m＝1－m，即m＝12时，上式等号成立，又m＝12满足Δ＝4m－4m20.∴d的最大值为1.思维升华圆锥曲线中最值问题的解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．已知点A(－1,0)，B(1,0)，动点M的轨迹曲线C满足∠AMB＝2θ，|AM→|·|BM→|cos2θ＝3，过点B的直线交曲线C于P，Q两点．(1)求|AM→|＋|BM→|的值，并写出曲线C的方程；(2)求△APQ面积的最大值．解(1)设M(x，y)，在△MAB中，|AB|＝2，∠AMB＝2θ，根据余弦定理得|AM→|2＋|BM→|2－2|AM→|·|BM→|cos2θ＝4.即(|AM→|＋|BM→|)2－2|AM→|·|BM→|(1＋cos2θ)＝4.(|AM→|＋|BM→|)2－4|AM→|·|BM→|cos2θ＝4.而|AM→|·|BM→|cos2θ＝3，所以(|AM→|＋|BM→|)2－4×3＝4.所以|AM→|＋|BM→|＝4.又|AM→|＋|BM→|＝42＝|AB|，因此点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(点M在x轴上也符合题意)，a＝2，c＝1.所以曲线C的方程为x24＋y23＝1.(2)设直线PQ的方程为x＝my＋1.由x＝my＋1，x24＋y23＝1，-5-消去x并整理得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.①显然方程①的Δ0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则S△APQ＝12×2×|y1－y2|＝|y1－y2|.由根与系数的关系得y1＋y2＝－6m3m2＋4，y1y2＝－93m2＋4.所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝48×3m2＋33m2＋42.令t＝3m2＋3，则t≥3，(y1－y2)2＝48t＋1t＋2.由于函数φ(t)＝t＋1t在[3，＋∞)上是增函数，所以t＋1t≥103，当t＝3m2＋3＝3，即m＝0时取等号．所以(y1－y2)2≤48103＋2＝9，即|y1－y2|的最大值为3.所以△APQ面积的最大值为3，此时直线PQ的方程为x＝1.题型二圆锥曲线中的定点、定值问题例2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x29＋y25＝1的左，右顶点分别为A，B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA，TB与此椭圆分别交于点M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中m0，y10，y20.(1)设动点P满足：|PF|2－|PB|2＝4，求点P的轨迹；(2)设x1＝2，x2＝13，求点T的坐标；(3)设t＝9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．(1)解设P(x，y)，由题意知F(2,0)，B(3,0)，A(－3,0)，则|PF|2＝(x－2)2＋y2，|PB|2＝(x－3)2＋y2，由|PF|2－|PB|2＝4，得(x－2)2＋y2－[(x－3)2＋y2]＝4，化简，得x＝92.故点P的轨迹方程是x＝92.(2)解将x1＝2，x2＝13分别代入椭圆方程，并考虑到y10，y20，得M2，53，N13，－209.-6-则直线MA的方程为y－053－0＝x＋32＋3，即x－3y＋3＝0.直线NB的方程为y－0－209－0＝x－313－3，即5x－6y－15＝0.联立方程x－3y＋3＝0，5x－6y－15＝0，解得x＝7，y＝103，所以点T的坐标为7，103.(3)证明如图所示，点T的坐标为(9，m)．直线TA的方程为y－0m－0＝x＋39＋3，直线TB的方程为y－0m－0＝x－39－3，分别与椭圆x29＋y25＝1联立方程，解得M380－m280＋m2，40m80＋m2，N3m2－2020＋m2，－20m20＋m2.直线MN的方程为y＋20m20＋m240m80＋m2＋20m20＋m2＝x－3m2－2020＋m2380－m280＋m2－3m2－2020＋m2.令y＝0，解得x＝1，所以直线MN必过x轴上的一定点(1,0)．思维升华求定点及定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．(2013·江西)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率e＝32，a＋b＝3.(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，A、B、D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：2m－k为定值．-7-(1)解因为e＝32＝ca，所以a＝23c，b＝13c.代入a＋b＝3得，c＝3，a＝2，b＝1.故椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)证明方法一因为B(2,0)，点P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为y＝k(x－2)(k≠0，k≠±12)，①①代入x24＋y2＝1，解得P8k2－24k2＋1，－4k4k2＋1.直线AD的方程为y＝12x＋1.②①与②联立解得M4k＋22k－1，4k2k－1.由D(0,1)，P8k2－24k2＋1，－4k4k2＋1，N(x,0)三点共线知－4k4k2＋1－18k2－24k2＋1－0＝0－1x－0，解得N4k－22k＋1，0.所以MN的斜率为m＝4k2k－1－04k＋22k－1－4k－22k＋1＝4k2k＋122k＋12－22k－12＝2k＋14.则2m－k＝2k＋12－k＝12(定值)．方法二设P(x0，y0)(x0≠0，±2)，则k＝y0x0－2，直线AD的方程为y＝12(x＋2)，直线BP的方程为y＝y0x0－2(x－2)，-8-直线DP的方程为y－1＝y0－1x0x，令y＝0，由于y0≠1可得N－x0y0－1，0，联立y＝12x＋2，y＝y0x0－2x－2，解得M4y0＋2x0－42y0－x0＋2，4y02y0－x0＋2，因此MN的斜率为m＝4y02y0－x0＋24y0＋2x0－42y0－x0＋2＋x0y0－1＝4y0y0－14y20－8y0＋4x0y0－x20＋4＝4y0y0－14y20－8y0＋4x0y0－4－4y20＋4＝y0－12y0＋x0－2.所以2m－k＝2y0－12y0＋x0－2－y0x0－2＝2y0－1x0－2－y02y0＋x0－22y0＋x0－2x0－2＝2y0－1x0－2－2y20－y0x0－22y0＋x0－2x0－2＝2y0－1x0－2－124－x20－y0x0－22y0＋x0－2x0－2＝12(定值)．题型三圆锥曲线中的探索性问题例3在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率e＝23，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程．(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．思维点拨圆锥曲线中，这类问题的解题思想是假设其结论成立、存在等，在这个假设下进-9-行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题作出正面回答；如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答．解(1)∵e2＝c2a2＝a2－b2a2＝23，