高中一元二次不等式解法及其应用

—1—一元二次不等式解法【基础知识精讲】1.一元二次不等式(1)一元二次不等式经过变形，可以化成如下标准形式：①ax2+bx+c＞0(a＞0);②ax2+bx+c＜0(a＞0).2.一元二次函数的图像、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集对比表二次函数△情况一元二次方程一元二次不等式y=ax2+bx+c(a＞0)△=b2-4acax2+bx+c=0(a＞0)ax2+bx+c＞0(a＞0)ax2+bx+c＜0(a＞0)图像与解△＞0x1=x2=不等式解集为｛x｜x＜x1或x＞x2＝不等式解集为｛x｜x1＜x＜x2＝△=0x1=x2=x0=不等式解集｛x｜x≠x0,x∈R｝解集为△＜0方程无解不等式解集为R(一切实数)解集为a＜0的情况自己完成3.一元n次不等式(x-a1)(x-a2)…(x-an)＞0,(x-a1)(x-a2)…(x-an)＜0，—2—其中a1＜a2＜…＜an.把a1,a2,…an按大小顺序标在数轴上，则不等式的解的区间如图所示：4.分式不等式(,bj互不相等)把a1,a2,…an和b1,b2，…，bm按照从小到大的顺序标在数轴上，该分式不等式的解的区间的情况与(3)中所述类似，分n+m为奇数或偶数在数轴上表示.综合可知，一元二次不等式的解法充分运用了“函数与方程”，“数形结合”及“化归”的数学思想，一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是使二次函数y=ax2+bx+c的函数值为零时对应的x值，一元二次不等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解就是使二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于零或小于零时x的取值范围，因此解一元二次方程ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0一般要画与之对应的二次函数y=ax2+bx+c的图像.【重点难点解析】本小节重点是一元二次不等式的解法，难点是一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系及运用一元二次不等式解决某些应用问题。例1解下列关于x的不等式：(1)2x+3-x2＞0;(2)x(x+2)-1≥x(3-x);(3)x2-2x+3＞0;(4)x2+6(x+3)＞3;分析解一元二次不等式一般步骤是：①化为标准形式；②确定判别式△=b2-4ac的符号；③若△≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根；若△＜0，则对应二次方程无根；④联系二次函数的图像得出不等式的解集.—3—特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集(在两根之内或两根之外).解：(1)原不等式可化为x2-2x-3＜0,(x-3)(x+1)＜0.∴不等式的解集为｛x｜-1＜x＜3｝.(2)原不等式可化为2x2-x-2≥0,(2x+1)(x-1)≥0.∴不等式的解集为｛x｜x≤-，或x≥1｝.(3)原不等式可化为(x-)2＞0.∴不等式的解集为｛x｜x∈R且x≠｝.(4)原不等式可化为x2+6x+15＞0.∵△＜0，方程x2+6x+15=0无实根，∴不等式的解集为R.评析熟练掌握一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间的关系，再加上熟练地分解因式、配方技能，解一元二次不等式就能得心应手.例2解不等式≥2.解：原不等式可化为-2≥0,—4—即为≥0，分子、分母必须同号，即可化为由于-2x2-x-1恒为负值，不等式除以(-2x2-x-1)得即x2+2x-3＜0，即(x+3)(x-1)＜0.解之得-3＜x＜1.原不等式的解集为｛x｜-3＜x＜1｝.遇到分式不等式，一般应化为右边为零的形式，即化为≥0，然后转化为(当分式不等式的分母恒为正(或为负)时，可以去分母，如＞0x-1＞0且)例3若函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)对任意的实数t,都有f(2+t)=f(2-t)，下列不等式成立的是()A.f(1)＜f(2)＜f(4)B.f(2)＜f(1)＜f(4)C.f(2)＜f(4)＜f(1)D.f(4)＜f(2)＜f(1)分析由条件知x=2为对称轴，f(2)最小，f(1)=f(3)，函数在(2，+∞)上为增函数，故选B.评析熟记结论：对f(x)若恒有f(a+x)=f(a-x)成立，则函数的图像关于直线x=a对称.例4已知不等式ax2+bx+2＞0的解为-＜x＜，求a，b值.解：方法一：显然a＜0，由(x+)(x-)＜0，得6x2+x-1＜0，变形得-12x2-2x+2＞0，故a=-12,b=-2.—5—方法二：x=-与x=是ax2+bx+2=0的两根，故有解得评析这里应注意韦达定理的应用.【难解巧解点拨】例1若x2+qx+q＞0的解集是｛x｜2＜x＜4｝，求实数p、q的值.分析在本题中，已知不等式的解集，要求确定其系数，这和解不等式的问题(已知系数求其解集)正好是互为逆向的两类问题.这类问题可以用下面的方法来解.①先作出一个解集符合要求的不等式；②根据不等式同解的要求，确定其系数的数值.解：不等式(x-2)(x-4)＜0①的解集为｛x｜2＜x＜4｝.①即为x2-6x+8＜0.即-x2+6x-8＞0.这与题中要求的不等式x2+qx+p＞0是同解且同向的二次不等式.∴其对应的系数成比例，且比值为正数(即二次项系数之值同号).∴==＞0解得p=-2,q=.说明利用上法确定不等式系数时，必须注意：①将两不等式化为同向不等式②同向二次不等式的二次项系数同号，否则就会产生错误.例2设A=｛x｜-2＜x＜-1,或x＞1｝，B=｛x｜x2+ax+b≤0｝，已知A∪B=｛x｜x＞-2｝，A∩B=｛x｜1＜x≤3｝，试求a,b的值.分析在本题求解时要正确利用图形进行分析.—6—解：如图所示，设B=｛x｜α≤x≤β｝设想集合B所表示的范围在数轴上移动，显然当且仅当B“覆盖”住集合｛x｜-1≤x≤3｝，才能使A∩B=｛x｜1＜x≤3｝∴“α≤-1且β≥1”，并且α≥-1及β=3.∴α=-1,β=3.因此B=｛x｜-1≤x≤3｝，根据二次不等式与二次方程的关系，可知-1与3是方程x2+ax+b=0的两根.∴a=-(-1+3)=-2,b=(-1)×3=-3.说明类似问题一定要借助数轴上的区间来考虑.同时要认真考查端点情况.例3已知f(x)=x2+2(a-2)x+4.(1)如果对一切x∈R，f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围.(2)如果对x∈〔-3，1〕，f(x)＞0成立，求实数a的取值范围.解：f(x)的图像开口向上.(1)对一切实数x，f(x)＞0，则△＜0，即(a-2)2-4＜0，∴0＜a＜4；(2)当x∈〔-3，1〕时，f(x)＞0，对称轴2-a可在区间内，也可在区间外，∴或或解得-＜a＜4评析函数f(x)在给定区间上f(x)＞0(或f(x)＜0)f(x)在该区间上的最小(或最大)值大于(或小于)零.只有深刻理解了二次函数在给定区间上的最值意义，才能正确处理函数的局部性质与整体性质的关系.—7—【课本难题解答】课本第22页习题1.5第8题①解：原不等式可化为(3x-4)(2x+5)＞0∴x＜-或x＞所以解集为｛x｜x＜-或x＞②解：原不等式可化为(2x-15)(5x+2)＜0或x=∴-＜x＜或x=即-＜x≤所以解集为｛x｜-＜x≤【命题趋势分析】一元一次不等式，一元二次不等式是最简单的不等式.历年高考中，都涉及到解不等式的题目，对解有理不等式、无理不等式，解指数和对数不等式，解绝对值不等式都进行了考查，而解这些类型的不等式最终都要转化成一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来解.平时要求学生熟练掌握一元二次不等式(组)的解，并能灵活应用.【典型热点考题】例1不等式＞1解集是.分析解不等式一般将一边变为零再处理解：将＞1变形为-1＞0，通分得0即解：(x-4)(x+3)＞0解得x＜-3或x＞4∴应填：x＜-3或x＞4—8—注意本题属＞0型不等式，解此类问题一般是运用等价转化的思想将其转化为一元二次不等式来解或一元一次不等式组来解.例2设全集为R，A=｛x｜x2-5x-6＞0｝，B=｛x｜｜x-5｜＜a｝(a是常数)，且11∈B，则()A.CRA∪B=RB.A∪CRB=RC.CRA∪CRB=RD.A∪B=R分析本题考查二次不等式和绝对值不等式的解法，集合间的关系，先需分别解出集合A、B，再根据11∈B这一条件确定a值范围，最后在数轴上判断集合间并集结果。解：A=｛x｜x2-5x-6＞0｝=｛x｜(x-6)(x+1)＞0｝=｛x｜x＜-1或x＞6｝B=｛x｜x-5｜＜a｝=｛x｜-a＜x-5＜a｝=｛x｜5-a＜x＜5+a｝.∵11∈B∴5+a＞11∴a＞6从而5-a＜-1.由数轴图可看出，A∪B=R.∴应选D.注意(1)本题主要考查一元二次不等式，含绝对值不等式的解法，以及集合关系(并集、补集).(2)作出数轴图，将抽象的字母和数字在数轴上表示出来，进行比较，由此判定出结果，是我们解此类问题常采用的方法.例3不等式｜x2-3x｜＞4的解集是.解：∵｜x2-3x｜＞4∴x2-3x＜-4或x2-3x＞4即x2-3x+4＜0或①x2-3x-4＞0②由①可化为(x-)2+＜0，显然解为.由②可化为(x+1)(x-4)＞0，得解为x＜-1或x＞4.—9—∴应填：｛x｜x＜-1或x＞4｝.注意(1)本题主要考查含有绝对值不等式和一元二次不等式的解法.(2)将含有绝对值不等式转化为一元二次不等式来解，是解好本题的关键.例4公园要建造一个圆形喷水池.在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如下左图所示.为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA距离为1米处达到距水平最大高度为2.25米，如果不计其他因素，那么水池半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外?分析由题意可知，本题可借助抛物线这一数学模型求解.关键是要根据题设条件求出所需的具体抛物线方程.为此，以O为原点，以OA所在直线为y轴，水面中垂直OA的直线为x轴建立直角坐标系，如上右图所示，则水流所呈现的抛物线方程为y=a(x-1)2+2.25.由题意，点A的坐标为(0，1.25)，把x=0,y=1.25代入方程解得a=-1，于是抛物线方程为y=-(x-1)2+2.25.令y=0，得-(x-1)2+2.25=0，解得x1=2.5，x2=-0.5(不合题意，舍去).所以水池半径至少要2.5米，才能使水流不落到池外.说明本例在已知解题数学模型(抛物线)的前提下，分析题设的一些数量关系，然后确定解题所需的具体的数学模型(即抛物线方程).【同步达纲练习】一、选择题1.已知集合A=｛x｜x2-2x-3＜0，B=｛x｜｜x｜＜a，若BA，则实数a的取值范围是()A.0＜a≤1；B.a≤1；C.-1＜a≤3；D.a＜1.—10—2.集合A=｛x｜x2-3x-10≤0，x∈Z｝，B=｛x｜2x2-x-6＞0，x∈Z｝，则A∩B的子集的个数为()A.16；B.8；C.15；D.7.3.不等式≥0的解集是()A.｛x｜-1≤x≤3｝B.｛x｜x≤-1，或x＞3｝C.｛x｜x≤-1，或x≥3｝D.｛x｜-1≤x＜3｝4.若对于任何实数，二次函数y=ax2-x+c的值恒为负，那么a、c应满足()A.a＞0且ac≤B.a＜0且ac＜C.a＜0且ac＞D.a＜0且ac＜05.考察下列集合：(1)｛x｜｜x-1｜＜1；(2)｛x｜x2-3x+2≤0｝；(3)｛x｜≤0｝；(4)｛x｜≥0｝，其中是集合A=｛x｜1＜x≤2的子集的有()A.1个B.2个C.3个D.4个6.在下列各不等式(组)中，解集为空集的是()A.x2+x+1≤；B.｜x-1｜+｜x-2｜≤1；C.(其中0＜a＜1；D.x2-(a+)x+1≤0(其中a＞0).二、填空题—11—1.使函数y=+有意义的x的取值范围是.2.不等式ax2+bx+2＞0的解集是｛x｜-＜x＜,则a+b=.3.不等式≤1的解集是.4.不等式-4≤x2-3x＜18的整数解为.5.已知关于x的方程ax2+bx+c＜0的解集为｛x｜x＜-1或x＞2｝.则不等式ax2-bx+c＞0的解集