高考复习直线

1直线的倾斜角和斜率1．直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.2．直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用k表示.说明：①当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0；②直线倾斜角的取值范围是1800；③倾斜角是90的直线没有斜率.3．斜率公式：经过两点),(111yxP、),(222yxP的直线的斜率公式：.1212xxyyk（x1≠x2）推导：设直线P1P2的倾斜角是α,斜率是k，向量21PP的方向是向上的（如图7—3（1）~（2））.向量21PP的坐标是),(1212yyxx.过原点作向量OP=21PP，则点P的坐标是),(1212yyxx，而且直线OP的倾斜角也是α.根据正切函数的定义，1212tanxxyy即.1212xxyyk（x1≠x2）例1如右图，直线l1的倾斜角301，直线112,lll求、l2的斜率.直线的倾斜角和斜率1．斜率公式的形式特点及适用范围：①斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时颠倒；②斜率公式表明，直线对于x轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点坐标表示，而不需求出直线的倾斜角；③斜率公式是研究直线方程各种形式的基础，必须熟记，并且会灵活运用;④当x1=x2,y1≠y2（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角α等于90，没有斜率.2例：求经过A（－2，0）、B（－5，3）两点的直线的斜率和倾斜角.直线的方程直线方程的点斜式:)(11xxkyy其中11,yx为直线上一点坐标,k为直线斜率.说明:①这个方程是由直线上一点和斜率确定的;②当直线l的倾斜角为0°时,直线方程为1yy;③当直线倾斜角为90°时,直线没有斜率,它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为:1xx.例1.一条直线经过点P1(-2,3),倾斜角=45°,求这条直线方程直线方程的斜截式:bkxy说明:①b为直线l在y轴上截距；②斜截式方程可由过点（0，b）的点斜式方程得到；③当0k时，斜截式方程就是一次函数的表示形式.直线方程的两点式:),(2121121121yyxxxxxxyyyy其中2211,,,yxyx是直线两点),(),,(2211yxyx的坐标.说明:①这个方程由直线上两点确定;②当直线没有斜率(21xx)或斜率为)(021yy时,不能用两点式求出它的方程.3直线方程的截距式:1byax,其中a,b分别为直线在x轴和y轴上截距.说明:①这一直线方程由直线在x轴和y轴上的截距确定,所以叫做直线方程的截距式;例：1、已知直线l与x轴的交点为（a，0），与y轴的交点为（0，b），其中a≠0,b≠0,求直线l的方程.2、三角形的顶点是A(-5,0)、B（3，-3）、C（0，2）,求这个三角形三边所在直线的方程.直线和二元一次方程的关系①在平面直角坐标系中,对于任何一条直线,都有一个表示这条直线的关于x,y的二元一次方程.因为在平面直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角,在α≠90°和α=90°两种情况下,直线的方程可分别写成bkxy及1xx这两种形式.它们又都可变形为0CByAx的形式,且A、B不同时为0.②在平面直角坐标系中,任何关于x、y的二元一次方程都表示一条直线.因为x、y的二元一次方程的一般形式是0CByAx,其中A、B不同时为0,在B≠0和B=0的两种情况下,一次方程可分别化成直线的斜截式方程BCxBAy和表示与y轴平行或重合的直线方程ACx.直线方程的一般式:0CByAx其中A、B不同时为0.例：1、已知直线经过点A(6,-4),斜率为34,求直线的点斜式和一般式方程.2、把直线l的方程062yx化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，4两条直线的位置关系1.两条直线的平行问题:结论:当直线l1和l2有斜截式方程:222111:,:bxkylbxkyl时,1l∥21212bbkkl且，说明:当21kk或不存在时,容易判定两直线关系.2.两条直线的垂直问题:结论:如果两条直线的斜率为k1和k2,那么,这两条直线垂直的充要条件是121kk.说明:当k1和k2不存在时,容易判定两直线是否垂直.例1.已知直线方程052:0742:21yxlyxl，,证明1l∥2l例2．求过点A（1，-4）且与直线0532yx平行的直线的方程.例3.已知两条直线:,052:,0742:21yxlyxl求证:.21ll例4.求过点A(2,1),且与直线0102yx垂直的直线l的方程.3.直线1l到2l的角两条直线1l和2l相交构成四个角,它们是两对对顶角,我们把直线1l按逆时针方向旋转到与2l重合时所转的角,叫做1l到2l的角.在右图中,直线1l到2l的角是θ1,l2到1l的角是θ2.如图,1l到2l的角是θ1,2l到1l的角是π-θ1,当1l与2l相交但不垂直时,θ和π-θ仅有一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角.当直线1l⊥2l时,直线l1和l2的夹角是2.5说明:θ1＞0,θ2＞0,且θ1+θ2=π直线l1到l2的角的公式:12121tankkkk.直线l1和l2的夹角公式:12121tankkkk.例：1、求直线23:,32:21xylxyl的夹角的正切值2、等腰三角形一腰所在直线l1的方程是022yx,底边所在直线l2的方程是01yx,点(-2,0)在另一腰上,求这条腰所在直线l3的方程.4.两直线是否相交的判断:设两条直线的方程是0:,0:22221111CyBxAlCyBxAl如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组00222111CyBxACyBxA是否有唯一解.例：求下列两条直线的交点.022:0243:21yxlyxl，例：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程:022:,022:21yxlyxl64.点到直线的距离在平面直角坐标系中,如果已知某点P的坐标为(x0,y0),直线l的方程是0CByAx,则点P到直线l的距离d可以表示为：2200BACByAxd.例：求点P0（-1，2）到下列直线的距离：（1）.23)2(;0102xyx例：求平行线0872yx和0672yx的距离.7圆圆的方程：标准方程：222rbyax点00(,)Mxy与圆222()()xaybr的关系的判断方法：（1）2200()()xayb2r，点在圆外（2）2200()()xayb=2r，点在圆上（3）2200()()xayb2r，点在圆内在圆的方程中有a、b、r三个需要确定的亮，所以需要三个条件来确定圆的方程例：1、ABC的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),ABC求它的外接圆的方程2、已知圆心为C的圆经过点(1,1)A和(2,2)B,且圆心在:10lxy上,求圆的标准方程.一般方程：022FEyDxyx.化成圆的标准方程：需要满足的关系：直线与圆的位置关系设直线l：0cbyax，圆C：022FEyDxyx，圆的半径为r，圆心)2,2(ED到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当rd时，直线l与圆C相离；（2）当rd时，直线l与圆C相切；（3）当rd时，直线l与圆C相交；8过圆上一点且与圆相切的直线方程：设圆的方程为：222rbyax，（00,yx）为圆上一定点，则过这一定点且与圆相切的直线方程可表示为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.圆与圆的位置关系设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当21rrl时，圆1C与圆2C相离；（2）当21rrl时，圆1C与圆2C外切；（3）当||21rr21rrl时，圆1C与圆2C相交；（4）当||21rrl时，圆1C与圆2C内切；（5）当||21rrl时，圆1C与圆2C内含；例1、求以)3,1(N为圆心，并且与直线0743yx相切的圆的方程.2、过坐标原点且与圆0252422yxyx相切的直线的方程为3、已知直线0125ayx与圆0222yxx相切，则a的值为.直线与圆设直线l与圆o相交于点M、N，点o到直线l的距离为d圆o的半径为r。则有等式2222dr）（MN成立。9例：求直线063:yxl被圆042:22yxyxC截得的弦AB的长.直线0323yx截圆422yx得的劣弧所对的圆心角为设直线03yax与圆4)2()1(22yx相交于A、B两点，且弦AB的长为32，则a.直线过定点问题：如果直线方程里除了xy以外仅有一个未知数，那么方程会满足一些特定的条件。这样的直线可能是过某一定点，也可能是表示一组平行的直线。例：已知直线l的方程为（m+2）x+（m-1）y+3m-5=0，问：直线l过那一定点？已知圆6)2()1(:22yxC，直线01:mymxl.（1）求证：不论m取什么实数，直线l与圆C恒交于两点；（2）求直线l被圆C截得的弦长最小时l的方程.10和圆相关的最值问题例：圆0104422yxyx上的点到直线014yx的最大距离与最小距离的差是已知点),(yxP在圆1)1(22yx上运动.（1）求21xy的最大值与最小值；（2）求yx2的最大值与最小值.求轨迹方程问题：已知点M与两个定点)0,0(O，)0,3(A的距离的比为21，求点M的轨迹方程.已知两定点)0,2(A，)0,1(B，如果动点P满足PBPA2，则点P的轨迹所包围的面积等于实际生活中问题的“数学化”某圆拱桥的水面跨度20m，拱高4m.现有一船宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？据气象台预报：在A城正东方300km的海面B处有一台风中心，正以每小时40km的速度向西北方向移动，在距台风中心250km以内的地区将受其影响.从现在起经过约h，台风将影响A城，持续时间约为h.（结果精确到0.1h）