高考平面向量问题的探究

宁波中学科研论文高考平面向量问题的探究宁波中学数学组陆巳钧电话：[phone]宁波中学科研论文高考平面向量问题的探究在浙江省近几年高考中，以平面向量为主的题目一般只有一道，并且只是一道填空题或选择题，分值几乎和复数，算法一样，只是数学高考中的配角，因为平面向量在《教学参考意见》中只有12课时。但在高考复习时，我们在平面向量上所化的时间和精力肯定比复数和算法要多，而学生的得分情况却比复数和算法要差。为什么平面向量会成为难啃的鸡肋，我认为主要是因为平面向量的知识体系相对复数与算法有“三多”,即表示方法多；联系知识多；解题思路多。而这“三多”造成学生知识网络混乱，解题策略乱用，好像有思路，但又解不出，仿佛乱花渐欲迷人眼，却是竹篮打水一场空。所以这就要求我们在高考复习时，仔细研究考纲和考题，精选例题和解题方法，通过例题讲解和变式训练帮助学生归纳出解决平面向量问题最主要的数学思想方法和与之对应的通法，提高平面向量问题的得分率。笔者近日参加了一次市教研室组织的说题交流，说的题目恰好是一道平面向量题，从此题入手，说一下笔者对高考平面向量问题的探究心得。题目：已知平面向量|,|2||,3||,,baabba则||a的取值范围为。6||2cos,||812||||3cos,,3638)(4||2||2222aaaababaababaabaa的有界性，可得根据，则设整理得解一：6||2,36||4cos,||)cos45(||cos||||419,,)(2)9)(2222222aaaaaaaabaaababaabb即的范围，得根据得设（平方得解二：小结1：平面向量的代数运算是高考的重要内容，教材上有句话：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。而向量的运算有加减运算，数乘运算和数量积运算，所有的运算以共线定理，平面向量基本定理和数量积的定义为理论基础，其中以数量积的运算应用最广，它可以判垂直，求夹角，定模长，非常方便的证明余弦定理和两角差的余弦公式等等，并且可以不借助图像，纯粹利用代数运算解决问题，而向量的加减运算若不结合图形利用平行四边形法则或三角形法则，仅用字母表示则几乎没有任何意义，数乘运算的应用范围则相对狭窄，可以说，有了数量积，向量的代数运算功能才得到极大的增强，数量积是沟通向量系统和数量系统的一座桥梁，若考平面向量的代数运算，则数量积的运算首当其冲。与模长有关的平面向量问题，两边平方利用数量积的性质，是处理此类问题的一种通法，必须引导学生掌握。如2007年浙江高考题，若非零向量|,|||,bbaba满足则（）（A）|2a||2a+b|（B）|2a||2a+b|（C）|2b||a+2b|（D）|2b||a+2b|分析：||||bba两边平方得022baa0)2(20222baaaa|2||2|444222bbabbbaa，得C当然解二利用拆分与整合，合理的把已知条件和目标联系起来，是一种化归与转化的数学思想的应用，可以使计算更加简单。6||2cos||812||||62||9||cos,,,,:222aaaaaabababa的有界性，可得根据可知：如右图，用有向线段表示设解三小结2：向量的代数运算固然重要，但向量毕竟不是数量，它是既有大小又有方向的量，有向线段是其最直观和贴切的表示，若所有的向量题目纯粹用代数运算，不能数形结合，则似单腿走路，必定行之不远。在解三中，根据有向线段构成的三角图像，我们可以直接利用余弦定理就很方便的得到了和解一中一样的等式，若设aab,，也能很快的得到和解二中一样的等式，还可以设bab,，利用余弦定理得到另一个等式，然后同样利用有界性求出范围。如2010年浙江高考向量题：（16）已知平面向量,(0,)满足1，且与的夹角为120°，则的取值范围是________________.baa-bθ分析：结合图像和三角的正弦定理可得：)1200(sin60sin1||332||0由此可见，数形结合是解决高考中平面向量问题的最重要的数学思想，所以必须让学生熟练掌握和理解向量各种运算的几何意义，引导学生多从数形结合角度去解决高考中的平面向量问题，多利用平面几何中的图形性质，不仅可以简化运算，还能大大提高解题的准确率。解三的数形结合只是利用了数量积和余弦定理之间的联系，若能利用平面几何中三角形的两边之和大于第三边性质，此题还可以更快的解决。如解四。6223322||,||:ttttttabta可得，由图可知：则设解四同样利用这个平面几何性质的代数表达式，即||,||||||||||||bababa可得6||22||3||2||2|||||3||:|aaaaabaa解五小结3：由此可见，利用数形结合的思想方法去解决高考中的平面向量问题的一般思路是，首先要用有向线段表示已知条件中向量，分析其隐含的几何关系，然后利用平面几何的性质进行转化和运算，最后得到答案。如前面的2007年的浙江高考题，我们也可以利用平面几何性质很快得到答案，若非零向量|,|||,bbaba满足则（）（A）|2a||2a+b|（B）|2a||2a+b|（C）|2b||a+2b|（D）|2b||a+2b|分析：用有向线段表示|,|||,,bbababa若要满足和则有向线段b的终点必定在有向线段a的中垂线上，再用有向线段表示向量bab22和，因为中线ba的长度为有向线段b2的一半，所以有向线段baba2,2,构成了直角三角形，如右图，可得斜边b2的长度必定大于直角边ba2的长度。tt/23aba+b2ba+2b又如2008年的浙江高考题，已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足0)()(cbca,则c的最大值是分析：用有向线段表示cbcacba,,,,，若要满足0)()(cbca则c的终点必定在以ba,终点连线为直径的圆上，如右图，然后可得||c的最大值为2。解六：设b=（3,0），a=),(yx，ba=yx,3，由已知条件可得：2222)3(4yxyx化简得：4422yx，由右图可知6||2a小结4：用坐标来表示向量，其实就把向量问题转化成了解析几何问题，而在高考中解析几何本身就是考察重点，且有好几道题目，并且向量的坐标法在立体几何的高考解答题中又会用到，所以我认为，在平面向量的高考题中，一般不会考察用坐标法解题，并且学生对于坐标法的掌握也是相对比较好，所以在平面向量的高考复习时，不必以坐标法为重点。综上所述，虽然平面向量的表示方法多，但还是要以有向线段表示和字母表示为重点，用有向线段就可以借助平面几何图形的相关性质来解决问题，而字母表示使向量的代数运算可以方便的进行，两种表示方法双管齐下，其实就是数形结合思想的体现。如2004年浙江高考向量题（14）已知平面上三点A、B、C满足3,4,5ABBCCA则ABBCBCCACAAB的值等于奎屯王新敞新疆分析：用有向线段表示CABCAB,,,根据条件可知ABC为直角三角形，B为直角，则目标式为25)(2ACACCABCABCA向量的联系知识虽然多，但根据其有向线段的几何表示，还是要以平面几何知识（包括初中的一些常用平面几何知识）和三角知识包括正余弦定理为重点，代数abca-cb-cxo26y运算中则要以数量积的运算为重点。解答方法虽然多，但以数形结合为指导思想的方法最为简洁和高效，这也符合新课程标准中“加强几何直观，重视图形在数学学习中的作用，鼓励学生借助直观进行思考”的教学实施建议。所以我们在平面向量的高考复习中，应多用这方面的例题和变式训练帮助学生总结归纳出解决平面向量问题的通式通法和养成数形结合的思考习惯，这样才能提高平面向量问题的得分率，在高考中攻克平面向量问题，品尝到鸡肋的美味。