高中数学1-4-3精品练习新人教A版必修4

用心爱心专心-1-1.4第3课时一、选择题1．角α的终边过点P(－1,2)，则sinα＝()A.55B.255C．－55D．－255[答案]B[解析]由三角函数的定义知，x＝－1，y＝2，r＝x2＋y2＝5，∴sinα＝yr＝255.2．(2010·江西文，6)函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为()A．[－1,1]B．[－54，－1]C．[－54，1]D．[－1，54][答案]C[解析]通过sinx＝t换元转化为t的一元二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令t＝sinx∈[－1,1]，y＝t2＋t－1＝t＋122－54，(－1≤t≤1)，显然－54≤y≤1，选C.3．(2010·金华十校)M、N是曲线y＝πsinx与曲线y＝πcosx的两个不同的交点，则|MN|的最小值为()A．πB.2πC.3πD．2π[答案]C[解析]其中与原点最近的两交点Mπ4，2π2，N5π4，－2π2，∴|MN|＝3π.4．函数y＝sin|x|的图象是()用心爱心专心-2-[答案]B[解析]y＝sin|x|为偶函数，排除A；y＝sin|x|的值有正有负，排除C；当x＝π3时，y0，排除D，故选B.5．(2010·南充市)已知函数f(x)＝πsin14x，如果存在实数x1，x1，使x∈R时，f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，则|x1－x2|的最小值为()A．4πB．πC．8πD．2π[答案]A[解析]∵正弦型函数f(x)满足对任意x∈R，f(x1)≤f(x)≤f(x2)，故f(x1)为f(x)的最小值，f(x2)为f(x)的最大值，从而|x1－x2|的最小值为半周期T2，∵T＝2π14＝8π，∴选A.6．(2010·衡水市高考模拟)设a＝log12tan70°，b＝log12sin25°，c＝log12cos25°，则它们的大小关系为()A．acbB．bcaC．abcD．bac[答案]A[解析]∵tan70°cos25°sin25°0，log12x为减函数，∴acb.7．下列函数中，图象关于直线x＝π3对称的是()A．y＝sin2x－π3B．y＝sin2x－π6用心爱心专心-3-C．y＝sin2x＋π6D．y＝sinx2＋π6[答案]B[解析]∵x＝π3时，2x－π6＝π2，y＝sin2x－π6取到最大值1，故选B.8．(2010·河南新乡市模拟)设角α终边上一点P(－4a,3a)(a0)，则sinα的值为()A.35B．－35C.45D．－45[答案]B[解析]∵a0，∴r＝(－4a)2＋(3a)2＝－5a，∴sinα＝3ar＝－35，故选B.9．(2010·北京西城区抽检)设0|α|π4，则下列不等式中一定成立的是()A．sin2αsinαB．cos2αcosαC．tan2αtanαD．cot2αcotα[答案]B[解析]当－π4α0时，A、C、D不成立．如α＝－π6，则2α＝－π3，sin2α＝－32，sinα＝－12，－32－12，tan2α＝－3，tanα＝－33，cot2α＝－33，cotα＝－3，而－3－33.10．(2010·广东佛山顺德区质检)函数f(x)＝sinx在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－1，f(b)＝1，则cosa＋b2＝()A．0B.22C．－1D．1[答案]D[解析]由条件知，a＝－π2＋2kπ(k∈Z)，b＝π2＋2kπ，∴cosa＋b2＝cos2kπ＝1.用心爱心专心-4-二、填空题11．(2010·苏北四市)设α是第三象限角，tanα＝512，则cos(π－α)＝________.[答案]1213[解析]∵α为第三象限角，tanα＝512，∴cosα＝－1213，∴cos(π－α)＝－cosα＝1213.12．(2010·深圳市调研)已知函数f(x)＝2cosπ3xx≤2000x－100x2000，则f[f(2010)]＝________.[答案]－1[解析]由f(x)＝2cosπ3xx≤2000x－100x2000得，f(2010)＝2010－100＝1910，f(1910)＝2cosπ3×1910＝2cos(636π＋2π3)＝2cos2π3＝－1，故f[f(2010)]＝－1.13．(2008·辽宁)已知f(x)＝sinωx＋π3(ω0)，fπ6＝fπ3，且f(x)在区间π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________.[答案]143[解析]∵fπ6＝fπ3，12π6＋π3＝π4，∴f(x)的图象关于直线x＝π4对称．又∵f(x)在π6，π3上有最小值，无最大值，∴x＝π4时，f(x)取最小值，∴ω·π4＋π3＝3π2，∴ω＝143.14．函数y＝2cos2x＋π6在－π6，π3上的最大值与最小值的和为________．[答案]2－3用心爱心专心-5-[解析]∵－π6≤x≤π3，∴－π6≤2x＋π6≤5π6，∴－32≤cos2x＋π6≤1，∴－3≤y≤2.三、解答题15．比较下列各组数的大小．(1)sin194°与cos160°；(2)cos32，sin110，－cos74；(3)sinsin3π8与sincos3π8.[解析](1)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(90°＋70°)＝－sin70°.∵0°14°70°90°，函数y＝sinx在(0°，90°)内是增函数，∴sin14°sin70°，－sin14°－sin70°，∴sin194°cos160°.(2)sin110＝cosπ2－110，－cos74＝cosπ－74，∵0π－74π2－11032π，函数y＝cosx在(0，π)上是减函数，∴cosπ－74cosπ2－110cos32，即－cos74sin110cos32.(3)cos3π8＝cosπ2－π8＝sinπ8.∵0π83π8π2，函数y＝sinx在0，π2内是增函数，∴0sinπ8sin3π81π2，即0cos3π8sin3π8π2，∵函数y＝sinx在(0，π2)内是增函数，∴sincos3π8sinsin3π8.[点评]比较两个三角函数值的大小，理论依据是三角函数的单调性，具体步骤是：①用心爱心专心-6-依据诱导公式把几个三角函数化为同名函数；②依据诱导公式把角化到属于同一个单调递增(减)区间；③依据三角函数的单调性比较大小后写出结论．16．已知函数f(x)＝2asin2x－π3＋b的定义域为0，π2，函数最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．[解析]∵0≤x≤π2，∴－π3≤2x－π3≤2π3.∴－32≤sin2x－π3≤1.若a0，则2a＋b＝1－3a＋b＝－5，解得a＝12－63b＝－23＋123，若a0，则2a＋b＝－5－3a＋b＝1，解得a＝－12＋63b＝19－123，综上可知，a＝12－63，b＝－23＋123，或a＝－12＋63，b＝19－123.17．已知函数f(x)＝log12|sinx|.(1)求其定义域和值域；(2)判断其奇偶性；(3)求其周期；(4)写出单调区间．[解析](1)由|sinx|0得sinx≠0，∴x≠kπ(k∈Z)．即函数定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．又0|sinx|≤1，∴log12|sinx|≥0.∴函数的值域为[0，＋∞)．(2)∵f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＝log12|sin(－x)|＝log12|－sinx|＝log12|sinx|＝f(x)．∴f(x)为偶函数．用心爱心专心-7-(3)函数f(x)是周期函数，∵f(x＋π)＝log12|sin(x＋π)|＝log12|－sinx|＝log12|sinx|＝f(x)，∴f(x)的周期T＝π.(4)∵y＝log12u在(0，＋∞)上是减函数，u＝|sinx|在kπ，kπ＋π2(k∈Z)上是增函数，在kπ－π2，kπ(k∈Z)上是减函数．∴f(x)在kπ－π2，kπ(k∈Z)上是增函数，在kπ，kπ＋π2(k∈Z)上是减函数．即f(x)的单调增区间是kπ－π2，kπ(k∈Z)，单调减区间是kπ，kπ＋π2(k∈Z)．