高中数学【配套Word版文档】三.3.1导数的概念及其运算

§3.1导数的概念及其运算2014高考会这样考1.利用导数的几何意义求切线方程；2.考查导数的有关计算，尤其是简单的复合函数求导．复习备考要这样做1.理解导数的意义，熟练掌握导数公式和求导法则；2.灵活进行复合函数的求导；3.会求某点处切线的方程或过某点的切线方程．1．平均变化率一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为fx2－fx1x2－x1.2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．函数f(x)的导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.4．基本初等函数的导数公式(1)(xα)＝αxα－1(α为常数)；(2)(ax)′＝axln_a(a0且a≠1)；(3)(logax)′＝1xlogae＝1xlna(a0，且a≠1)；(4)(ex)′＝ex；(5)(lnx)′＝1x；(6)(sinx)′＝cos_x；(7)(cosx)′＝－sin_x.5．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′xg2x(g(x)≠0)．[难点正本疑点清源]1．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系(1)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)是一个常数；(2)函数y＝f(x)的导函数，是针对某一区间内任意点x而言的．如果函数y＝f(x)在区间(a，b)内每一点x都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0都对应着一个确定的导数f′(x0)．这样就在开区间(a，b)内构成了一个新函数，就是函数f(x)的导函数f′(x)．在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数．2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．1．f′(x)是函数f(x)＝13x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为________．答案3解析∵f′(x)＝x2＋2，∴f′(－1)＝(－1)2＋2＝3.2.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝______.答案2解析如图可知，f(5)＝3，f′(5)＝－1，因此f(5)＋f′(5)＝2.3．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)＝________.答案－2解析由题意得f′(x)＝2x＋3f′(2)，∴f′(2)＝2×2＋3f′(2)，∴f′(2)＝－2.4．已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于3x－y＝0，则点P的坐标为________．答案(1,0)解析由题意知，函数f(x)＝x4－x在点P处的切线的斜率等于3，即f′(x0)＝4x30－1＝3，∴x0＝1，将其代入f(x)中可得P(1,0)．5．曲线y＝xx＋2在点(－1，－1)处的切线方程为____________________．答案2x－y＋1＝0解析易知点(－1，－1)在曲线上，且y′＝x＋2－xx＋22＝2x＋22，∴切线斜率k＝2.由点斜式得切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0.题型一利用定义求函数的导数例1利用导数的定义求函数f(x)＝x3在x＝x0处的导数，并求曲线f(x)＝x3在x＝x0处的切线与曲线f(x)＝x3的交点．思维启迪：正确理解导数的定义，理解导数的几何意义是本题的关键．解因为ΔyΔx＝fx－fx0x－x0＝x3－x30x－x0＝x2＋xx0＋x20.从而当x→x0时，x2＋xx0＋x20→3x20.曲线f(x)＝x3在x＝x0处的切线方程为y－x30＝3x20·(x－x0)，即y＝3x20x－2x30，由y＝x3，y＝3x20x－2x30，得(x－x0)2(x＋2x0)＝0，解得x＝x0，x＝－2x0.若x0≠0，则交点坐标为(x0，x30)，(－2x0，－8x30)；若x0＝0，则交点坐标为(0,0)．探究提高求函数f(x)的导数步骤：(1)求函数值的增量Δf＝f(x2)－f(x1)；(2)计算平均变化率ΔfΔx＝fx2－fx1x2－x1；(3)计算当Δx→0时，ΔfΔx趋近的常数A.利用导数的定义，求：(1)f(x)＝1x在x＝1处的导数；(2)f(x)＝1x＋2的导数．解(1)∵ΔyΔx＝f1＋Δx－f1Δx＝11＋Δx－1Δx＝1－1＋ΔxΔx1＋Δx＝1－1＋ΔxΔx1＋Δx1＋1＋Δx＝－ΔxΔx1＋Δx＋1＋Δx＝－11＋Δx＋1＋Δx，∴当Δx→0时，ΔyΔx→－12.所以f′(1)＝－12.(2)∵ΔyΔx＝fx＋Δx－fxΔx＝1x＋2＋Δx－1x＋2Δx＝x＋2－x＋2＋ΔxΔxx＋2x＋2＋Δx＝－1x＋2x＋2＋Δx，∴当Δx→0时，ΔyΔx→－1x＋22，所以f′(x)＝－1x＋22.题型二导数的运算例2求下列函数的导数：(1)y＝ex·lnx；(2)y＝xx2＋1x＋1x3；(3)y＝x－sinx2cosx2；(4)y＝(x＋1)1x－1.思维启迪：求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导．解(1)y′＝(ex·lnx)′＝exlnx＋ex·1x＝ex(lnx＋1x)．(2)∵y＝x3＋1＋1x2，∴y′＝3x2－2x3.(3)先使用三角公式进行化简，得y＝x－sinx2cosx2＝x－12sinx，∴y′＝x－12sinx′＝x′－12(sinx)′＝1－12cosx.(4)先化简，y＝x·1x－x＋1x－1＝－21x＋21x，∴y′＝－1221x－1223x＝－12x1＋1x.探究提高(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．求下列各函数的导数：(1)y＝11－x＋11＋x；(2)y＝cos2xsinx＋cosx；(3)y＝－sinx21－2cos2x4；(4)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．解(1)∵y＝11－x＋11＋x＝21－x，∴y′＝21－x′＝－21－x′1－x2＝21－x2.(2)∵y＝cos2xsinx＋cosx＝cosx－sinx，∴y′＝－sinx－cosx.(3)∵y＝－sinx2－cosx2＝12sinx，∴y′＝12sinx′＝12(sinx)′＝12cosx.(4)方法一y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11.方法二y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)·(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝3x2＋12x＋11.题型三导数的几何意义例3已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程．思维启迪：求曲线的切线方程，方法是通过切点坐标，求出切线的斜率，再通过点斜式得切线方程．解(1)∵P(2,4)在曲线y＝13x3＋43上，且y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y＝13x3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点Ax0，13x30＋43，则切线的斜率为k＝x20.∴切线方程为y－13x30＋43＝x20(x－x0)，即y＝x20·x－23x30＋43.∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43，即x30－3x20＋4＝0，∴x30＋x20－4x20＋4＝0，∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为x20＝1，x0＝±1.切点为(－1,1)或1，53，∴切线方程为y－1＝x＋1或y－53＝x－1，即x－y＋2＝0或3x－3y＋2＝0.探究提高利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率．即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．(2)切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其它的公共点．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值．解∵y′＝2ax＋b，∴抛物线在点Q(2，－1)处的切线斜率为k＝4a＋b.∴4a＋b＝1.①又∵点P(1,1)、Q(2，－1)在抛物线上，∴a＋b＋c＝1，②4a＋2b＋c＝－1.③联立①②③解方程组，得a＝3，b＝－11，c＝9.∴实数a、b、c的值分别为3、－11、9.一审条件挖隐含典例：(14分)设函数y＝x2－2x＋2的图象为C1，函数y＝－x2＋ax＋b的图象为C2，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直．(1)求a，b之间的关系；(2)求ab的最大值．C1与C2有交点↓(可设C1与C2的交点为(x0，y0))过交点的两切线互相垂直↓(切线垂直隐含着斜率间的关系)两切线的斜率互为负倒数↓（导数的几何意义）利用导数求两切线的斜率：k1＝2x0－2，k2＝－2x0＋a↓等价转换(2x0－2)(－2x0＋a)＝－1①↓(交点(x0，y0)适合解析式)y0＝x20－2x0＋2y0＝－x20＋ax0＋b，即2x20－(a＋2)x0＋2－b＝0②↓（注意隐含条件方程①②同解）a＋b＝52↓（消元）ab＝a52－a＝－a－542＋2516当a＝54时，ab最大且最大值为2516.规范解答解(1)对于C1：y＝x2－2x＋2，有y′＝2x－2，[1分]对于C2：y＝－x2＋ax＋b，有y′＝－2x＋a，[2分]设C1与C2的一个交点为(x0，y0)，由题意知过交点(x0，y0)的两切线互相垂直．∴(2x0－2)(－2x0＋a)＝－1，即4x20－2(a＋2)x0＋2a－1＝0①又点(x0，y0)在C1与C2上，故有y0＝x20－2x0＋2y0＝－x20＋ax0＋b⇒2x20－(a＋2)x0＋2－b＝0②由①②消去x0，可得a＋b＝52.[7分](2)由(1)知：b＝52－a，∴ab＝a52－a＝－a－542＋2516.[10分]∴当a＝54时，(ab)最大值＝2516.[14分]温馨提醒审题包括两方面内容：题目信息的挖掘、整合以及解题方法的