高中数学一类递推数列问题的解决与延伸论文

用心爱心专心1一类递推数列问题的解决与延伸已知数列{an},a1=a,an+1=pan+q(p≠1,q≠0是常数),求数列{an}的通项公式an,是高中常见的递推数列问题.这类数列通常可转化为1()nnapa，或消去常数转化为二阶递推式211()nnnnaaqaa，或归纳猜想证明.例１.已知数列na｛｝中，11121(1)nnaaan，,求na｛｝的通项公式．解析:解法一．（待定系数法）转化为1()nnapa型递推数列．∵121(1)nnaan，∴112(1)(1)nnaan，又112a，故数列｛1na｝是首项为２，公比为２的等比数列．∴12nna，即21nna．解法二．（差分法形成差数列）转化为211()nnnnaapaa型递推数列．∵1na=2an+1(n≥1)①∴2na=2an+1+1②②－①，得2112()nnnnaaaa(n≥1)，故｛1nnaa｝是首项为a2-a1=2，公比为２的等比数列，即11222nnnnaa，再用累加法得21nna．解法三．用迭代法．21231221212(21)12212222121nnnnnnnnaaaaa．解法四.归纳猜想证明法．11121(1)nnaaan，,2343715a,a,a,猜想：21nna.用数学归纳法证明．．．．．．．．(证明略).这类递推数列解决后,其他类型的递推可以转化并解决.类型一:1(,1,1)nn+na=qa+dp,dqd为非零常数这类数列可变换成111nnnnaaqdddd，令nnnabd，则转化为1nnbpbq'型.例2.设数列11132(*)nnnnaaaanN｛｝满足：，.求数列na｛｝的通项公式．解析:∵132nnnaa，两边同除以12n，得11312222nnnnaa．令2nnnab，则有13122nnbb．于是，得131(1)2nnbb，∴数列1nb｛｝是以首项为37144，公用心爱心专心2比为32的等比数列，故1731()42nnb，即173()142nnb，从而2117323nnna．类型二:1(,nnncaacdad为非零常数）；若取倒数,得1111nndacac，令1nnba，从而转化为1nnbpbq'型.例3.已知数列na中满足11a，131nnnaaa，求数列的通项na.解：数列na中，11a，131nnnaaa1113nnaa，即1113nnaa数列1na是以111,a公差为3的等差数列.111(1)3,32nnnnaa即132nan()nN类型三:1(00,0,1)pn+nna=caa,cpp这类数列可取对数得1lglglgnnapac，从而转化为1nnbpbq'数列.例4.已知数列na中满足11a，5110,nnaa求数列na的通项na.解:11a，5110,nnaa151nnlgalga.111544nnlgalga.14nlga是以为14首项,5为公比的等比数列.1151141151044nnnnlgaa.类型四:21nnnapaqa可转化为1''''nnapaq例５.设数列12215521(*)333nnnnaaaaaanN｛｝满足：，，.求数列na｛｝的通项公式．分析:设法把1na分1na给2na.转化为1''''nnapaq用心爱心专心3解:由2152(*)33nnnaaanN，可得2111222()(*)333nnnnnnaaaaaanN－.设11212521333nnnnbaabbaa，则｛｝是公比为的等比数列，且，故2(*)3nbnNn（）．即12(2)3nnaann-1（）．用累加法得12111221222()()()()()333nnnnnnnaaaaaaaa，11221112()()()222()()1333nnnnnnnaaaaaaaa21()233[1()]2313nn).解决这类问题,还可使用下面的定理定理:在数列na中，Nnqapaannn12，21,aa为初始值．它的特征方程qptt2的两根为,，则（１）当时，11nnnBAa；（２）当时1nnBAna．（证明略）解法2:递推关系对应的特征方程为:22352013,.则11122133nnnnaABAB.由12513，aa得:12132522333aABABAaABBAB122323333nnna.例６:在数列12211(*)nnnnaaaaaanN｛｝中，已知，，求数列na｛｝的通项公式．解:令1nnnbaa，使数列nb｛｝是以为公比的等比数列(,待定)．即211()，nnnnaaaa∴21()．nnnaaa对照已给递推式，有11，，即210axx、是方程的两个实根．用心爱心专心4从而151515152222－，；或，．∴211151515(222nnnnaaaa)①或211151515(222nnnnaaaa)②由式①得11515()22nnnaa；由式②得11515()22nnnaa．消去11515()()22nnnnaa１－，得［］５．