高中数学一轮复习函数(带答案)

一轮函数（第二章）函数的单调性1．函数f(x)(x∈R)的图象如右图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0a1)的单调减区间是________．解析：∵0a1，y＝logax为减函数，∴logax∈[0，12]时，g(x)为减函数．由0≤logax≤12a≤x≤1．答案：[a，1](或(a，1))2．下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________．①y＝－1x②y＝－(x－1)③y＝x2－2④y＝－|x|解析：由函数y＝－|x|的图象可知其增区间为(－∞，0]．答案：④3．若函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．解析：令g(x)＝x2－ax＋3a，由题知g(x)在[2，＋∞)上是增函数，且g(2)0．∴a2≤2，4－2a＋3a0，∴－4a≤4．答案：－4a≤44．若函数f(x)＝x＋ax(a0)在(34，＋∞)上是单调增函数，则实数a的取值范围__．解析：∵f(x)＝x＋ax(a0)在(a，＋∞)上为增函数，∴a≤34，0a≤916．答案：(0，916]5．定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f(x2)－f(x1)x2－x10，则下列结论正确的是________．①f(3)f(－2)f(1)②f(1)f(－2)f(3)③f(－2)f(1)f(3)④f(3)f(1)f(－2)解析：由已知f(x2)－f(x1)x2－x10，得f(x)在x∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f(2)＝f(－2)，即f(3)f(－2)f(1)．答案：①6．(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f(x)的图象是如下图所示的折线段OAB，点A的坐标为(1，2)，点B的坐标为(3，0)，定义函数g(x)＝f(x)·(x－1)，则函数g(x)的最大值为________．解析：g(x)＝2x(x－1)(0≤x1)，(－x＋3)(x－1)(1≤x≤3)，当0≤x1时，最大值为0；当1≤x≤3时，在x＝2取得最大值1．答案：16．已知f(x)＝log3x＋2，x∈[1，9]，则函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值是________．解析：∵函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为1≤x≤9，1≤x2≤9，∴x∈[1，3]，令log3x＝t，t∈[0，1]，∴y＝(t＋2)2＋2t＋2＝(t＋3)2－3，∴当t＝1时，ymax＝13．答案：137．若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a0，a≠1)在区间(0，12)内恒有f(x)0，则f(x)的单调递增区间为__________．解析：令μ＝2x2＋x，当x∈(0，12)时，μ∈(0，1)，而此时f(x)0恒成立，∴0a1．μ＝2(x＋14)2－18，则减区间为(－∞，－14)．而必然有2x2＋x0，即x0或x－12．∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－12)．答案：(－∞，－12)8．试讨论函数y＝2(x21log)2－2x21log＋1的单调性．解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令u＝g(x)＝log12x，y＝f(u)＝2u2－2u＋1，那么原函数y＝f[g(x)]是由g(x)与f(u)复合而成的复合函数，而u＝log12x在x∈(0，＋∞)内是减函数，y＝2u2－2u＋1＝2(u－12)2＋12在u∈(－∞，12)上是减函数，在u∈(12，＋∞)上是增函数．又u≤12，即log12x≤12，得x≥22；u12，得0x22．由此，从下表讨论复合函数y＝f[g(x)]的单调性：函数单调性(0，22)(22，＋∞)u＝log12xf(u)＝2u2－2u＋1y＝2(log12x)2－2log12x＋1故函数y＝2(log12x)2－2log12x＋1在区间(0，22)上单调递减，在区间(22，＋∞)上单调递增．9．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x1x2)＝f(x1)－f(x2)，且当x1时，f(x)0．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)－2．解：(1)令x1＝x20，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0．(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1x2，则x1x21，由于当x1时，f(x)0，所以f(x1x2)0，即f(x1)－f(x2)0，因此f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f(x1x2)＝f(x1)－f(x2)得f(93)＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2．由于函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，由f(|x|)f(9)，得|x|9，∴x9或x－9．因此不等式的解集为{x|x9或x－9}．10．已知函数()2fxx=，()1gxx=-．(1)若存在x∈R使()()fxbgx?，求实数b的取值范围；(2)设()()()21Fxfxmgxmm=-+--，且()Fx在[0，1]上单调递增，求实数m的取值范围．解：(1)x∈R，f(x)b·g(xx∈R，x2－bx＋b＝(－b)2－4bb0或b4．(2)F(x)＝x2－mx＋1－m2，Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4，①当Δ≤0即－255≤m≤255时，则必需m2≤0－255≤m≤255－255≤m≤0．②当Δ0即m－255或m255时，设方程F(x)＝0的根为x1，x2(x1x2)，若m2≥1，则x1≤0．m2≥1F(0)＝1－m2≤0m≥2．若m2≤0，则x2≤0，m2≤0F(0)＝1－m2≥0－1≤m－255．综上所述：－1≤m≤0或m≥2．函数的性质11．定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f(1)＋f(4)＋f(7)等于________．解析：f(x)为奇函数，且x∈R，所以f(0)＝0，由周期为2可知，f(4)＝0，f(7)＝f(1)，又由f(x＋2)＝f(x)，令x＝－1得f(1)＝f(－1)＝－f(1)⇒f(1)＝0，所以f(1)＋f(4)＋f(7)＝0．答案：012．已知定义在R上的函数f(x)是偶函数，对x∈R，f(2＋x)＝f(2－x)，当f(－3)＝－2时，f(2011)的值为________．解析：因为定义在R上的函数f(x)是偶函数，所以f(2＋x)＝f(2－x)＝f(x－2)，故函数f(x)是以4为周期的函数，所以f(2011)＝f(3＋502×4)＝f(3)＝f(－3)＝－2．答案：－213．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋32)，且f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，f(1)＋f(2)＋…＋f(2009)＋f(2010)＝________．解析：f(x)＝－f(x＋32)⇒f(x＋3)＝f(x)，即周期为3，由f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，所以f(1)＝－1，f(2)＝－1，f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2009)＋f(2010)＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝0．答案：014．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)＝1，若将f(x)的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2010)＝________．解析：f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，将f(x)的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象所以有f（x-1）=f（-x-1）⇒f（x-1）=-f（x+1）⇒f（t+2）=-f（t）⇒f（t+4）=f（t），所以周期为4，∴f（3）=f（-1）=-f（1）=-1；f（2）=-f（0）=0；f（4）=f（0）=0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2010)＝f(4)×502＋f(2)＝0．答案：015．(2010年江苏苏州模拟)已知函数f(x)是偶函数，并且对于定义域内任意的x，满足f(x＋2)＝－1f(x)，若当2x3时，f(x)＝x，则f(2009．5)＝________．解析：由f(x＋2)＝－1f(x)，可得f(x＋4)＝f(x)，f(2009．5)＝f(502×4＋1．5)＝f(1．5)＝f(－2．5)∵f(x)是偶函数，∴f(2009．5)＝f(2．5)＝52．答案：5216．(2009年高考山东卷)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________．解析：因为定义在R上的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x-2)＝-f(x+2)，f(2-x)=f(2+x)因此，函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0．由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f(x)在区间[0，2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2，0]上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1＜x2＜x3＜x4．由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8．答案：-8