高中数学创新题集锦

才智教育高中数学内部材料(1)函数部分新创题5道1.已知映射f:A→B,其中A=B=R，对应法则f:x→y=x2-2x+2.若对实数k∈B,在集合A中不存在原象，则k的取值范围是____________.2.如图是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象,则x21+x22等于____________.3.函数f(x)=logax(a0,a≠1),若f(x1)-f(x2)=1,则f(x21)-f(x22)等于____________.4.汽车在行驶中，汽油平均消耗率g(即每小时的汽油消耗量，单位：L/h)与汽车行驶的平均速度v（单位：km/h)之间有函数关系：g=25001(v-50)2+5(0v150).“汽油的使用率最高”为每千米汽油平均消耗量最小（单位：L/km),则汽油的使用率最高时，汽车速度是（km/h).5.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费200元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？才智教育高中数学内部材料(2)数列部分新创题4道1．若等比数列{an}对一切正整数n都有Sn=2an-1,其中Sn是{an}的前n项和，则公比q的值为____________.2.等差数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,则数列{nSn}的前11项和为____________.3.等差数列{an}中有两项am和ak满足am=k1,ak=m1,则该数列前mk项之和是.4.设f(x)=cxbxax12(a0)为奇函数,且|f(x)|min=22,数列{an}与{bn}满足如下关系:a1=2,an+1=11,2)(nnnnnaabaaf.(1)求f(x)的解析表达式；（2）证明：当n∈N+时，有bn≤(31)n.才智教育高中数学内部材料(3)三角部分新创题4道1.若223,则直线sincosyx=1必不经过____________.2．若函数f(x+2)=0),lg(0,tanxxxx，则f(4+2)f(-98)等于____________.3．若2231tan1tan,则sin2α=.4．函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，请选择适当的探究顺序，研究函数f(x)=1－sinx+1＋sinx的性质，并在此基础上，作出其在[,]的草图．才智教育高中数学内部材料（4）向量部分新创题4道1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足OP=31(21OA+OB21+2OC),则点P一定为三角形ABC的（）A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB边的中点2.已知向量a=(2cosα,2sinα),b=(3cosβ,3sinβ),其夹角为60°,则直线xcosα-ysinα+21=0与圆（x-cosβ)2+(y+sinβ)2=21的位置关系是.3.运用物理中矢量运算及向量坐标表示与运算，我们知道：(1)若两点等分单位圆时，有相应关系为：0)cos(cos,0)sin(sin（2）四点等分单位圆时，有相应关系为：0)23cos()sin()2cos(cos,0)23sin()sin()2sin(sin由此可以推知三等分单位圆时的相应关系为：.4．已知向量m=(cosθ,sinθ)和n=(2-sinθ,cosθ),θ∈［π,2π］.(1)求|m+n|的最大值；（2）当|m+n|=528时,求cos(82)的值.才智教育高中数学内部材料（5）不等式部分新创题4道1．若函数f(x)=min{3+log41x,log2x},其中min{p,q}表示p,q两者中的较小者，则f(x)2的解集为____________.2.点集{(x,y)|||x|-1|+|y|=2}的图形是一条封闭的折线，这条封闭折线所围成的区域的面积是____________.3.如果不等式f(x)=ax2-x-c0的解集为{x|-2x1},那么函数y=f(-x)的大致图象是（）4.实系数方程f(x)=x2+ax+2b=0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求：（1）12ab的值域；（2）（a-1）2+(b-2)2的值域；（3）a+b-3的值域.才智教育高中数学内部材料（6）直线与圆部分新创题4道1.在坐标平面上，横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数n，连结原点O与点An(n,n+3),用f(n)表示线段OAn上除端点外的整点个数，则f(2007)=____________.2．已知函数f(x)=x2-4x+3,集合M={（x,y)|f(x)+f(y)≤0},集合N={（x,y)|f(x)-f(y)≥0},则集合M∩N的面积是____________.3．直线ax+by-1=0(a,b不全为0),与圆x2+y2=50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有____________.4.直线x=a,y=x将圆面x2+y2≤4分成若干块，现用5种不同的颜色给这若干块涂色，且共边的颜色不同，每块涂一色，共有260种涂法，则a的取值范围是.才智教育高中数学内部材料（7）圆锥曲线新题原创4道1．在直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线是双曲线，则m的取值范围为____________.2．已知曲线f(x)=x3+x2+x+3在x=-1处的切线恰好与抛物线y=2px2相切，则过该抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交得的线段长度为____________.3.设A={（x,y)|(x-1)2+y2≤25},B={(x,y)|(x+1)2+y2≤25},Ct={(x,y)||x|≤t,|y|≤t,t0},则满足CtA∩B时，t的最大值是____________.4.已知平面上两点M（-5，0）和N（5，0），若直线上存在点P使|PM|-|PN|=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中是“单曲型直线”的是（）①y=x+1;②y=2;③y=34x;④y=2x+1.A.①③B.①②C.②③D.③④才智教育高中数学内部材料（8）空间图形新题原创5道1.有六根细木棒，其中较长的两根分别为3a、2a,其余四根均为a,用它们搭成三棱锥，则其中两条较长的棱所在的直线的夹角的余弦值为____________.2．一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数nm,那么积m·n是____________.3.已知平面α∥平面β,直线lα,点P∈l,平面α、β间的距离为8，则在β内到点P的距离为10且到直线l的距离为9的点的轨迹是（）A.一个圆B.两条直线C.四个点D.两个点4.空间（填：“存在”或“不存在”）这样的四个点A、B、C、D，使得AB=CD=8cm,AC=BD=10cm,AD=BC=13cm.5.不共面的三条定直线l1,l2,l3互相平行，点A在l1上，点B在l2上，C、D两点在l3上，若CD=a(定值），则三棱锥A—BCD的体积（）A.由A点的变化而变化B.由B点的变化而变化C.有最大值，无最小值D.为定值才智教育高中数学内部材料集合与简易逻辑部分新题原创3道1.已知集合S={x||2x-1|1},则使(S∩T)(S∪T)的集合T=____________.2．设A、B是非空集合，定义A×B={x|x∈A∪B且xA∩B}.已知A={x|y=22xx},B={y|y=2x,x0},则A×B等于____________.3.已知集合A={(x,y,z)|x,y,z∈S,且xz,yz},S=(1,2,…,n+1}(n∈N*).(1)当z=k+1(1≤k≤n)时,求集合A的元素个数;(2)当xyz时,求集合A的元素个数;(3)由(1)、(2)能得到一个关于自然数的恒等式,试证明你的结论.排列、组合、概率部分新题原创3道1.一圆形餐桌依次有A、B、C、D、E、F共有6个座位.现让3个大人和3个小孩入座进餐，要求任何两个小孩都不能坐在一起，则不同的入座方法总数为（）A.6B.12C.72D.1442.设a、b、m为整数（m0),若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余.记为a≡b(modm).已知a=1+C120+C220·2+C320·22+…+C2020·219，b≡a(mon10),则b的值可以是（）A.2015B.2011C.2008D.20063.某游戏中,一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下,从最大面的六个出口出来,规定猜中出口者为胜.如果你在该游戏中,猜得珠子从出口3出来,那么你取胜的概率为()A.165B.325C.61D.才智教育高中数学内部材料复数部分新题原创3道1.设f(n)=niiiinn(1111N),则集合{x|x=f(n)}中元素的个数是（）A.1B.2C.3D.无穷多个2.已知方程x2+(4+i)x+4+ai=0(aR)有实根b,且z=a+bi，则复数z等于（）A.2-2iB.2+2iC.-2+2iD.-2-2i3.对于任意两个复数z1=x1+y1i,z2=x2+y2i(x1、y1、x2、y2R)，定义运算“⊙”为：z1⊙z2=x1x2+y1y2,设非零复数ω1、ω2在复数平面内对应的点分别为P1、P2，点O为坐标原点，如果ω1⊙ω2=0，那么在△P1OP2中，∠P1OP2的大小为.数学月刊三月号才智教育高中数学内部材料12）概率与统计新题原创4道1.设随机变量的分布列为下表所示且1.6E，则ab()0123p0.1ab0.1A．0.2B．0.1C．-0.2D．-0.42.新入大学的甲刚进校时购买了一部新手机，他把手机号码抄给同学乙.第二天，同学乙给他打电话时，发现号码的最后一个数字被撕掉了，于是乙在拨号时随意地添上最后一个数字，且用过了的数字不再重复.（理）则拨号次数ξ不超过3次而拨对甲的手机号码的数学期望是.（文）则拨号不超过3次而拨对甲的手机号码的概率是.3.设某公司拥有三支获利是独立的股票，且三种股票获利的概率分别为0.8、0.6、0.5，求（1)任两种股票至少有一种获利的概率；(2)三种股票至少有一种股票获利的概率.4.在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。（Ⅰ）写出的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）（Ⅱ）求的数学期望E。（要求写出计算过程或说明道理）才智教育高中数学内部材料（13）导数新题原创4道1.函数y=f(x)的图象过原点且它的导函数y=f′(x)的图象是如图所示的一条直线，y=f(x)的图象的顶点在（）A.第Ⅰ象限B.第Ⅱ象限C.第Ⅲ象限D.第Ⅳ象限2.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大.3.已知0,1cb，函数bxxf)(的图象与函数cbxxxg2)(的图象相切。求b与c的关系式（用c表示b）4.已知a、b为实数，且b＞a＞e,其中e为自然对数的底，求证：ab＞ba.