高中数学学案46直线与直线的位置关系

学案46直线与直线的位置关系导学目标：1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．自主梳理1．两直线的位置关系平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况．(1)两直线平行对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔_________________________________________________________________.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2B2C2≠0)，l1∥l2⇔__________________________________________________________________.(2)两直线垂直对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1·k2＝____.对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝____.2．两条直线的交点两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，如果两直线相交，则交点的坐标一定是这两个方程的________；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是l1和l2的________，因此，l1、l2是否有交点，就看l1、l2构成的方程组是否有________．3．有关距离(1)两点间的距离平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离P1P2＝__________________________________.(2)点到直线的距离平面上一点P(x0，y0)到一条直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝______________________.(3)两平行线间的距离已知l1、l2是平行线，求l1、l2间距离的方法：①求一条直线上一点到另一条直线的距离；②设l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2之间的距离d＝________________.自我检测1．(2010·济宁模拟)若点P(a,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y－30表示的平面区域内，则实数a的值为________．2．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过的定点的坐标为________．3．已知直线l1：ax＋by＋c＝0，直线l2：mx＋ny＋p＝0，则ambn＝－1是直线l1⊥l2的______________条件．4．(2009·上海)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是________．5．已知2x＋y＋5＝0，则x2＋y2的最小值是________.探究点一两直线的平行与垂直例1已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0，(1)试判断l1与l2是否平行；(2)l1⊥l2时，求a的值．变式迁移1已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0.求满足以下条件的a、b的值：(1)l1⊥l2且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且原点到这两条直线的距离相等．探究点二直线的交点坐标例2已知直线l1：4x＋7y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x＋3my－4＝0.当m为何值时，三条直线不能构成三角形．变式迁移2△ABC的两条高所在直线的方程分别为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A的坐标为(1,2)，求BC边所在直线的方程．探究点三距离问题例3已知点P(2，－1)．求：(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．变式迁移3已知直线l过点P(3,1)且被两平行线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．转化与化归思想例(14分)已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．【答题模板】解(1)设A′(x，y)，再由已知y＋2x＋1×23＝－1，2×x－12－3×y－22＋1＝0，解得x＝－3313，y＝413，∴A′－3313，413.[4分](2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设对称点M′(a，b)，则2×a＋22－3×b＋02＋1＝0，b－0a－2×23＝－1，得M′613，3013.[8分]设直线m与直线l的交点为N，则由{2x－3y＋1＝0，x－2y－6＝0，得N(4,3)．又∵m′经过点N(4,3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.[10分](3)方法一在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M(1,1)，N(4,3)，则M，N关于点A(－1，－2)的对称点M′，N′均在直线l′上，易得M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，再由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.[14分]方法二∵l∥l′，∴设l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)，∵点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等，∴由点到直线的距离公式得|－2＋6＋C|22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，解得C＝－9(C＝1舍去)，∴l′的方程为2x－3y－9＝0.[14分]方法三设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，∵点P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.[14分]【突破思维障碍】点关于直线对称是轴对称中最基本的，要抓住两点：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段中点在对称轴上．直线关于点的对称可转化为点关于点的对称，直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称．【易错点剖析】(1)点关于线对称，不能转化为“垂直”及“线的中点在轴上”的问题．(2)线关于线对称，不能转化为点关于线的对称问题；线关于点的对称，不能转化为点关于点的对称问题．1．在两条直线的位置关系中，讨论最多的还是平行与垂直，它们是两条直线的特殊位置关系．解题时认真画出图形，有助于快速准确地解决问题．判断两直线平行与垂直时，不要忘记考虑斜率不存在的情形，利用一般式则可避免分类讨论．2．运用公式d＝|C1－C2|A2＋B2求两平行直线间的距离时，一定要把x、y项系数化为相等的系数．3．对称思想是高考热点，主要分为中心对称和轴对称两种，关键要把握对称问题的本质，必要情况下可与函数的对称轴建立联系．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．若直线x＋ay－a＝0与直线ax－(2a－3)y－1＝0互相垂直，则a的值是________．2．已知直线l的倾斜角为3π4，直线l1经过点A(3,2)、B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝________.3．(2011·南通模拟)P点在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为2，则P点坐标为________________．4．(2010·重庆云阳中学高三月考)直线l1：x＋my＋6＝0和l2：3x－3y＋2＝0，若l1∥l2，则m的值为______．5．设直线l经过点(－1,1)，则当点(2，－1)与直线l的距离最大时，直线l的方程为______________．6．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是________．7．设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a、b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是________和________．8．平行四边形两相邻边方程是x＋y＋1＝0和3x－y＋4＝0，对角线交点(3,3)，则另两边的方程为________________________________________________和______________.二、解答题(共42分)9．(14分)(1)已知点P1(2,3)，P2(－4,5)和A(－1,2)，求过点A且与点P1，P2距离相等的直线方程．(2)过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程．10．(14分)已知△ABC的一个顶点A(－1，－4)，内角∠B，∠C的平分线所在直线的方程分别为：l1：y＋1＝0，l2：x＋y＋1＝0.求边BC所在直线的方程．11．(14分)已知直线方程(a－2)y＝(3a－1)x－1.(1)无论a为何实数，该直线是否总经过第一象限？(2)为使直线不经过第二象限，求实数a的取值范围．学案46直线与直线的位置关系答案自主梳理1．(1)k1＝k2且b1≠b2A1A2＝B1B2≠C1C2(2)－102.公共解交点唯一解3.(1)x2－x12＋y2－y12(2)|Ax0＋By0＋C|A2＋B2(3)②|C1－C2|A2＋B2自我检测1．－32.(0,2)3.充分不必要4.3或55.5课堂活动区例1解题导引运用直线的斜截式y＝kx＋b讨论两直线位置关系时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况．即若l1∥l2，则k1＝k2b1≠b2或两直线斜率均不存在，若l1⊥l2，则k1k2＝－1或k1、k2一个为0，另一个不存在．若直线l1、l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2的必要条件是A1B2－A2B1＝0，而l1⊥l2的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.解题中为避免讨论，常依据上述结论去解题．解(1)方法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不平行；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1与l2不平行；当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－a2x－3，l2：y＝11－ax－(a＋1)，l1∥l2⇔－a2＝11－a，－3≠－a＋1，解得a＝－1，综上可知，a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．方法二由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0.由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，∴l1∥l2⇔aa－1－1×2＝0aa2－1－1×6≠0⇔a2－a－2＝0，aa2－1≠6.∴a＝－1，故当a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．(2)方法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1与l2不垂直；当a≠1且a≠0时，l1：y＝－a2x－3，l2：y＝11－ax－(a＋1)，由－a2·11－a＝－1⇒a＝23.方法二由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0⇒a＝23.变式迁移1解(1)由已知可得l2的斜率必存在，且k2＝1－a.若k2＝0，则a＝1.由l1⊥l2，l1的斜率不存在，∴b＝0.又l1过(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0，∴b＝3a－4＝－1，矛盾．∴此情况不存在，即k2≠0.若k2≠0，即k1＝ab，k2＝1－a.由l1⊥l2，得k1k2＝ab(1－a)＝－1.由l1过(－3，－1)，得－3a＋b＋4＝0，解之得a＝2，b＝2.(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴l1的斜率存在，∴k1＝k2，即ab＝1－a.又原点