高中数学必修一第一章集合与函数概念综合素能检测及答案

第一章集合与函数概念综合素能检测及答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)1．已知集合A＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{1,3,6,9}，C＝{3,7,8}，则(A∩B)∪C等于()A．{0,1,2,6,8}B．{3,7,8}C．{1,3,7,8}D．{1,3,6,7,8}[答案]C[解析]A∩B＝{1,3}，(A∩B)∪C＝{1,3,7,8}，故选C.2．(09·陕西文)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f(x2)－f(x1)x2－x10，则()A．f(3)f(－2)f(1)B．f(1)f(－2)f(3)C．f(－2)f(1)f(3)D．f(3)f(1)f(－2)[答案]A[解析]若x2－x10，则f(x2)－f(x1)0，即f(x2)f(x1)，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数，∵321，∴f(3)f(2)f(1)，又f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，∴f(3)f(－2)f(1)，故选A.3．已知f(x)，g(x)对应值如表.x01－1f(x)10－1x01－1g(x)－101则f(g(1))的值为()A．－1B．0C．1D．不存在[答案]C[解析]∵g(1)＝0，f(0)＝1，∴f(g(1))＝1.4．已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式是()A．3x＋2B．3x＋1C．3x－1D．3x＋4[答案]C[解析]设x＋1＝t，则x＝t－1，∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，∴f(x)＝3x－1.5．已知f(x)＝2x－1(x≥2)－x2＋3x(x2)，则f(－1)＋f(4)的值为()A．－7B．3C．－8D．4[答案]B[解析]f(4)＝2×4－1＝7，f(－1)＝－(－1)2＋3×(－1)＝－4，∴f(4)＋f(－1)＝3，故选B.6．f(x)＝－x2＋mx在(－∞，1]上是增函数，则m的取值范围是()A．{2}B．(－∞，2]C．[2，＋∞)D．(－∞，1][答案]C[解析]f(x)＝－(x－m2)2＋m24的增区间为(－∞，m2]，由条件知m2≥1，∴m≥2，故选C.7．定义集合A、B的运算A*B＝{x|x∈A，或x∈B，且x∉A∩B}，则(A*B)*A等于()A．A∩BB．A∪BC．AD．B[答案]D[解析]A*B的本质就是集合A与B的并集中除去它们的公共元素后，剩余元素组成的集合．因此(A*B)*A是图中阴影部分与A的并集，除去A中阴影部分后剩余部分即B，故选D.[点评]可取特殊集合求解．如取A＝{1,2,3}，B＝{1,5}，则A*B＝{2,3,5}，(A*B)*A＝{1,5}＝B.8．(广东梅县东山中学2009～2010高一期末)定义两种运算：ab＝a2－b2，a⊗b＝(a－b)2，则函数f(x)＝为()A．奇函数B．偶函数C．奇函数且为偶函数D．非奇函数且非偶函数[答案]A[解析]由运算与⊗的定义知，f(x)＝4－x2(x－2)2－2，∵4－x2≥0，∴－2≤x≤2，∴f(x)＝4－x2(2－x)－2＝－4－x2x，∴f(x)的定义域为{x|－2≤x0或0x≤2}，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．9．(08·天津文)已知函数f(x)＝x＋2，x≤0，－x＋2，x0，则不等式f(x)≥x2的解集为()A．[－1,1]B．[－2,2]C．[－2,1]D．[－1,2][答案]A[解析]解法1：当x＝2时，f(x)＝0，f(x)≥x2不成立，排除B、D；当x＝－2时，f(x)＝0，也不满足f(x)≥x2，排除C，故选A.解法2：不等式化为x≤0x＋2≥x2或x0－x＋2≥x2，解之得，－1≤x≤0或0x≤1，即－1≤x≤1.10．调查了某校高一一班的50名学生参加课外活动小组的情况，有32人参加了数学兴趣小组，有27人参加了英语兴趣小组，对于既参加数学兴趣小组，又参加英语兴趣小组的人数统计中，下列说法正确的是()A．最多32人B．最多13人C．最少27人D．最少9人[答案]D[解析]∵27＋32－50＝9，故两项兴趣小组都参加的至多有27人，至少有9人．11．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝12，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝()A．0B．1C.52D．5[答案]C[解析]f(1)＝f(－1＋2)＝f(－1)＋f(2)＝12，又f(－1)＝－f(1)＝－12，∴f(2)＝1，∴f(5)＝f(3)＋f(2)＝f(1)＋2f(2)＝52.12．已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝g(x)，若f(x)≥g(x)，f(x)，若f(x)g(x).则F(x)的最值是()A．最大值为3，最小值－1B．最大值为7－27，无最小值C．最大值为3，无最小值D．既无最大值，又无最小值[答案]B[解析]作出F(x)的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选B.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．(2010·江苏，1)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.[答案]－1[解析]∵A∩B＝{3}，∴3∈B，∵a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝－1.14．已知函数y＝f(n)满足f(n)＝2(n＝1)3f(n－1)(n≥2)，则f(3)＝________.[答案]18[解析]由条件知，f(1)＝2，f(2)＝3f(1)＝6，f(3)＝3f(2)＝18.15．已知函数f(x)＝2－ax(a≠0)在区间[0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．[答案](0,2][解析]a0时，f(x)在定义域上是增函数，不合题意，∴a0.由2－ax≥0得，x≤2a，∴f(x)在(－∞，2a]上是减函数，由条件2a≥1，∴0a≤2.16．国家规定个人稿费的纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．某人出版了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费为________．[答案]3800元[解析]由于4000×11%＝440420，设稿费x元，x4000，则(x－800)×14%＝420，∴x＝3800(元)．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)设集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，集合B＝{x|x－1或x5}，分别就下列条件求实数a的取值范围：(1)A∩B≠∅，(2)A∩B＝A.[解析](1)因为A∩B≠∅，所以a－1或a＋35，即a－1或a2.(2)因为A∩B＝A，所以A⊆B，所以a5或a＋3－1，即a5或a－4.18．(本题满分12分)二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求a的取值范围．[解析](1)∵f(x)为二次函数且f(0)＝f(2)，∴对称轴为x＝1.又∵f(x)最小值为1，∴可设f(x)＝a(x－1)2＋1(a0)∵f(0)＝3，∴a＝2，∴f(x)＝2(x－1)2＋1，即f(x)＝2x2－4x＋3.(2)由条件知2a1a＋1，∴0a12.19．(本题满分12分)图中给出了奇函数f(x)的局部图象，已知f(x)的定义域为[－5,5]，试补全其图象，并比较f(1)与f(3)的大小．[解析]奇函数的图象关于原点对称，可画出其图象如图．显见f(3)f(1)．20．(本题满分12分)一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40cm与60cm现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪法，才能使剩下的残料最少？[解析]如图，剪出的矩形为CDEF，设CD＝x，CF＝y，则AF＝40－y.∵△AFE∽△ACB.∴AFAC＝FEBC即∴40－y40＝x60∴y＝40－23x.剩下的残料面积为：S＝12×60×40－x·y＝23x2－40x＋1200＝23(x－30)2＋600∵0x60∴当x＝30时，S取最小值为600，这时y＝20.∴在边长60cm的直角边CB上截CD＝30cm，在边长为40cm的直角边AC上截CF＝20cm时，能使所剩残料最少．21．(本题满分12分)(1)若a0，讨论函数f(x)＝x＋ax，在其定义域上的单调性；(2)若a0，判断并证明f(x)＝x＋ax在(0，a]上的单调性．[解析](1)∵a0，∴y＝ax在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，又y＝x为增函数，∴f(x)＝x＋ax在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数．(2)f(x)＝x＋ax在(0，a]上单调减，设0x1x2≤a，则f(x1)－f(x2)＝(x1＋ax1)－(x2＋ax2)＝(x1－x2)＋a(x2－x1)x1x2＝(x1－x2)(1－ax1x2)0，∴f(x1)f(x2)，∴f(x)在(0，a]上单调减．22．(本题满分14分)设函数f(x)＝|x－a|，g(x)＝ax.(1)当a＝2时，解关于x的不等式f(x)g(x)．(2)记F(x)＝f(x)－g(x)，求函数F(x)在(0，a]上的最小值(a0)．[解析](1)|x－2|2x，则x≥2，x－22x.或x2，2－x2x.∴x≥2或23x2.即x23.(2)F(x)＝|x－a|－ax，∵0x≤a，∴F(x)＝－(a＋1)x＋a.∵－(a＋1)0，∴函数F(x)在(0，a]上是单调减函数，∴当x＝a时，函数F(x)取得最小值为－a2.