高中数学教学中类比思想方法

高中数学教学中类比思想方法古语云：授人以鱼，只供一饭。授人以渔，则终身受用无穷。学知识，更要学方法。清华网校的学习方法栏目由清华附中名师结合多年教学经验和附中优秀学生学习心得组成，以帮助学生培养良好的学习习惯为目的，使学生在学习中能够事半功倍。全日制中学教学大纲指出，要重视能力的培养，使学生逐步学会分析、综合、归纳、类比等重要的思想方法。在各种逻辑推理方法中，类比思想方法是富于创造的一种方法。这是因为它可以跨越各个种类进行不同类事物的类比，可以比较本质的特征，也可以比较非本质的特征，因而具有较强的探索和预测作用。根据高中生的抽象逻辑思维从经验型向理论型急剧转化的心理特点和高中数学教材的特点，教学中恰当地应用类比方法，不仅能突出问题的本质，提高教学质量，而且有助于培养学生的创造能力等思维品质，提高认识问题和解决问题的能力。南安县教育局陈进兴老师把高中数学教学中的类比形式分成两大类：第一类，同构类比。这是类比中的一种极端形式。同构的意义是一个集合M和N之间的一一对应f是一个对于代数运算O和来讲的M和N之间的同构对应，假如在f之下，a∈M，b∈M，如果在M、N之间，对代数运算O和，M和N同构，记为MN。例如，坐标平面上有序实数对（x，y）所组成的集合X与平面上向Z的集合Y的对应f：（x，y）→x+yi，那么XY。在中学数学中，最常见的同构类比就是数形结合、函数与图像，代数与解析几何等。由两点间的距离公式得几何意义为点P（X，O）到点A（1，2）与点B（2，3）距离之和的最小值，利用同构类比转化如图，根据几何定理，|PA|+|PB|的最小值为A关于X轴对称点A′（1，2）与点B的距离，第二类，非同构类比。即从对象的某些属性相同推出它们的其它属性相同，这是高中数学中大量采用类比形式，常常又可分为：1．相对概念的类比。数学教育家波利亚说：“类比就是一种相似。”把两个数学对象进行比较，找出它们相似的地方，从而推出这两个数学对象的其它一些属性也有类似的地方，这在教学中关于概念、性质的教学是最常用的方法。例如：高中立体几何中“二面角的定义”，从模型引入二面角后可以从平面几何角的概念，类比概括二面角的定义，见下表：通过角的概念，由“平面空间”、“点线”、“线面”进行类比得出二面角的定义，既可减少二面角的教学难度，又可以使类比思维方法潜移默化地渗透于教学之中。2．新旧知识的类比。这是教材中安排得最多的类比内容，在讲授新知识的同时，经常联系旧知识，创造条件进行类比，扩展学生的思路，养成学生进行类比推理的习惯。我们知道，平面几何的基本元素是点和直线，而立体几何的基本元素是点、直线和平面，如果我们建立如下对应关系：平面内的点对应到空间中的点或直线，平面内的直线对应到空间中的直线或平面，那么把平面几何某些定理中的点换作直线，或把线换作平面，就可以帮助学生“发现”一类相似的立体几何定理。通过这样新旧知识的联系来进行类比，既有利于理解、掌握新知识，还能使旧知识得到巩固，同时拓宽视野。3、同类事物的类比。所谓的同类事物是指这类对象具有相同的条件、结论、问题的形式、数学方法等。同类事物的类比能使学生从感性材料出发，认识事物的数学特征，形成积极要求探索的心理状态，引导探索一般结论，掌握从特殊到一般的认识规律，达到寻根探源的目的。例如，讲授重要不等式时，在推证：若a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，则a2+b2≥2ab和a3+b3+c3≥3abc之后，可引导学生进行类比，使之认清其相似特征：即不等式右边的项的因数就是左边各项的底数，不等式右边项的系数，就是左边的项数，这样引起了学生思考，形成了要求继续下探的心理状态，于是设问：当a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，呢？学生很快类比联想得不等式a4+b4+c4+d4≥4abcd，顺此继续联想类比，得出当a1，a2，…an均大于0时，不等式a1n+a2n+…+ann≥na1a2……an也要成立。当然类比只是一种猜测，还要通过严谨的论证才能成立。关于类比，还要注意可能产生的负迁移，也就是要克服一些错误的类比，如易混概念的类比，易混性质的类比，从而准确地掌握概念和性质的本质，有区别地认识具有某种相似性的概念。例2．若|4i+log0.5x|≥5，其中i2=-1，x∈R，求x的取值范围。错解：原不等式可化为4i+log0.5x≥5或4i+log0.5x≤-5……这里受实数x，|x|≥a（a＞0）x≥-a或x≤-a的影响而产生的负迁移。事实上，应该先把问题实数化，对于复数Z，还可能产生的迁移有（1）|Z|=Z2，（2）|Z|=aZ=±a，（3）Zmn=（Zm）n，（4）Zn=1Z=1，（5）ax2+bx+C=0有实根△≥0。教学中，通过这些易混概念性质的类比，既可纠正学生的错误，还可以使学生掌握类比的可行性、准确性、局限性，从而科学地掌握运用类比思维方法。康德说过：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这种方法往往能指引我们前进。”因此只要学生学会了类比这个重要的思想方法，不仅能帮助他们理解和掌握新知识，而且还能提高他们的解题能力，促进创造性思维的培养。