高中数学教案必修1第十一讲函数模型及其应用

-1-博途教育学科教师辅导讲义(一）学员姓名:年级：高一日期：辅导科目：数学学科教师：刘云丰时间：课题第十一讲：函数模型及其应用授课日期教学目标1、培养学生根据实际问题进行信息综合列出函数解析式；2、会利用函数图象性质对函数解析式进行处理得出数学结论.教学内容函数模型及其应用〖教学重点与难点〗◆教学重点：根据实际问题分析建立数学模型和根据实际问题拟合判断数学模型；◆教学难点：根据数学模型解决实际问题。〖教学过程〗[来源:Zxxk.Com]一、创设情境，导入课题在课本第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只.可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气.这段话道出了其中的意蕴：对于一个种群的数量，如果在理想状态(如没有天敌、食物充足等)下，那么它将呈指数增长；但在自然状态下，种群数量一般符合对数增长模型.二、提出问题，探索新知①我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x).-2-②A、B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全.核电站距城市距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月.把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域.③分析以上实例属于那种函数模型.讨论结果：①f(x)=5x(15≤x≤40).g(x)=4030,902,3015,90xxx②y=5x2+25(100—x)2(10≤x≤90)；③分别属于一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型.三、应用示例例1一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.(1)求图3-2-2-1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式，并作出相应的图象.图3-2-2-1活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：图中横轴表示时间，纵轴表示速度，面积为路程；由于每个时间段速度不断变化，汽车里程表读数skm与时间th的函数为分段函数.解：(1)阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.(2)根据图，有s=.54,2299)4(65,43,2224)3(75,32.2134)2(90,21,2054)1(80,10,200450tttttttttt这个函数的图象如图3-2-2-2所示.-3-图3-2-2-2变式训练电信局为了满足客户不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间关系如下图(图3-2-2-3)所示(其中MN∥CD).(1)分别求出方案A、B应付话费(元)与通话时间x(分钟)的函数表达式f(x)和g(x)；(2)假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A、B两种优惠方案？并说明理由.图3-2-2-3解：(1)先列出两种优惠方案所对应的函数解析式：f(x)=,100,10103,1000,20xxxg(x)=.500,100103,5000,50xxx(2)当f(x)=g(x)时,103x-10=50,∴x=200.∴当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可;当客户通话时间为0≤x＜200分钟，g(x)f(x),故选择方案A；当客户通话时间为x200分钟时，g(x)f(x),故选方案B.点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力.另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型.例2人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766~1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0ert,其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.下表是1950～1959年我国的人口数据资料：年份1950195119521953195419551956195719581959人数／万人55196563005748258796602666145662828645636599467207(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否-4-相符；(2)如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？解：(1)设1951～1959年的人口增长率分别为r1,r2,r3,…,r9.由55196(1+r1)=56300，可得1951年的人口增长率为r1≈0.0200.同理,可得r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，r8≈0.0222，r9≈0.0184.于是，1950～1959年期间，我国人口的年平均增长率为r=(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221.令y0=55196，则我国在1951～1959年期间的人口增长模型为y=55196e0.0221t,t∈N.根据表中的数据作出散点图，并作出函数y=55196e0.0221t(t∈N)的图象(图3-2-2-4).图3-2-2-4由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.(2)将y=130000代入y=55196e0.0221t,由计算器可得t≈38.76.所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国将面临难以承受的人口压力.变式训练一种放射性元素,最初的质量为500g,按每年10%衰减.(1)求t年后,这种放射性元素质量ω的表达式;(2)由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期).(精确到0.1.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771)解：(1)最初的质量为500g.经过1年后,ω=500(1－10%)=500×0.91;经过2年后,ω=500×0.9(1－10%)=500×0.92;由此推知,t年后,ω=500×0.9t.(2)解方程500×0.9t=250,则0.9t=0.5,-5-所以t=9.0lg5.0lg=13lg22lg≈6.6(年),即这种放射性元素的半衰期约为6.6年.知能训练某电器公司生产A型电脑.1993年这种电脑每台平均生产成本为5000元,并以纯利润20%确定出厂价.从1994年开始,公司通过更新设备和加强管理,使生产成本逐年降低.到1997年,尽管A型电脑出厂价仅是1993年出厂价的80%,但却实现了50%纯利润的高效益.(1)求1997年每台A型电脑的生产成本;(2)以1993年的生产成本为基数,求1993年至1997年生产成本平均每年降低的百分数.(精确到0.01,以下数据可供参考:5=2.236,6=2.449)活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导.出厂价=单位商品的成本+单位商品的利润.解：(1)设1997年每台电脑的生产成本为x元,依题意,得x(1+50%)=5000×(1+20%)×80%,解得x=3200(元).(2)设1993年至1997年间每年平均生产成本降低的百分率为y,则依题意,得5000(1－y)4=3200,解得y1=1－552,y2=1+552(舍去).所以y=1－552≈0.11=11%,即1997年每台电脑的生产成本为3200元,1993年至1997年生产成本平均每年降低11%.点评：函数与方程的应用是本章的重点，请同学们体会它们的关系.拓展提升某家电企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台.已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：家电名称空调彩电冰箱每台所需工时213141每台产值(千元)432问每周应生产空调、彩电、冰箱各多少台，才能使周产值最高？最高产值是多少?(以千元为单位)解：设每周生产空调、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台，每周产值为f千元，则f=4x+3y+2z，其中)3(,60,0,0)2(,120413121)1(,360zyxzyxzyx由①②可得y=360-3x,z=2x,-6-代入③得,602,03360,0xxx则有30≤x≤120.故f=4x+3(360-3x)+2·2x=1080-x,当x=30时，fmax=1080-30=1050.此时y=360-3x=270,z=2x=60.答:每周应生产空调30台，彩电270台，冰箱60台，才能使每周产值最高，最高产值为1050千元.点评：函数方程不等式有着密切的关系，它们相互转化组成一个有机的整体,请同学们借助上面的实例细心体会.四、课堂小结本节重点学习了函数模型的实例应用，包括一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型等；另外还应关注函数方程不等式之间的相互关系.五、课后练习1．按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，现把2万元存入银行3年半，取出后本利和应为人民币（）A．3.52(18%)万元B．362(18%)(12%)万元C．32(18%)22%5万元D．3362(18%)2(18%)(12%)万元解析：3年半本利和的计算问题，应转为3年按年息8％计算，而半年按6个月（月息2％）计算，又由于是复利问题，故只有选B．2．某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（）-7-解析：由于d表示学生的家与学校的距离，因而首先排除A、C选项，又因为图中线段的斜率的绝对值表示前进速度的大小，因而排除B，故只能选择D。3.商店某种货物的进价下降了8％，但销售价没变，于是这种货物的销售利润由原来的r％增加到（r＋10）％，那么r的值等于（）A．12B．15C．25D．50解析：销售利润＝销售价进价进价×100％．设销售价为y，进价为x，则100%%(18%100%(10)%18%yxrxyxr）x（）解之得r＝15。4．如下图所示，点Ｐ在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点Ｐ沿着A—B—C—M运动时，以点Ｐ经过的路程x为自变量，三角形APM的面积函数的图象形状大致是（）解析：本题主要考查求分段函数的解析式，如图所示，当0≤x≤1时，y＝12·x·1＝12x；当1＜x≤2时，y＝1－12（x－1）－14