高中数学数列通项公式的求法论文新课标人教B版必修5

论数列通向公式的求法摘要：数列在理论上和实践中均有较高的价值，是培养学生观察能力、理解能力、逻辑思维能力的绝好载体，高考对数列知识的考察在八十年代末发展到了极致，以后逐渐冷落，但最近几年又逐渐升温，随着与大学知识的接轨，竞赛题的释放，很多省市的高考数学卷都把数列题作为压轴题，而数列通向公式的求法又成为一个热点。本文想总结一下在高中阶段，求数列的通项公式的常用方法和策略。关键词：数列通向公式递推公式求法1．观察法观察法就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通向公式，然后利用数学归纳法加以证明即可。例1在数列,nnab中112,4ab且1,,nnnaba成等差数列，,11,nnnbab成等比数列*nN。求234,,aaa及234,,bbb，由此猜测,nnab的通向公式，并证明你的结论。解：有题设条件得12nnnbaa，211nnnabb由此得2346,12,20aaa，2349,16,25bbb猜测21,1nnannbn用数学归纳法证明：(1)当n=1时，有以上知结论成立；(2)假设n=k时，结论成立；即，21,1kkakkbk，那么当1nk时，21221112kkkabakkkkk，2112kkkabkb所以当1nk时，结论也成立，由(1)(2)，可知21,1nnannbn对一切正整数都成立[1]点评：采用数学归纳法证明多是理科教学内容，较为容易，好掌握。2．定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例2等差数列na是递增数列，前n项和为ns，且1,3,9aaa成等比数列，255sa．求数列na的通项公式.解：设数列na公差为d(d0)∵1,3,9aaa成等比数列，2319aaa点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。3．公式法若已知数列的前n项和ns与na的关系，求数列na的通项na可用公式求解。例3已知数列na的前n项和nS满足21,1nnSann．求数列na的通项公式。点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．[2]4．由递推公式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。[3]4．1类型1递推公式为1()nnaafn，其中(1)(2)...()fffn的和比较易求，通常解法是把原递推公式转化为1()nnaafn，利用累加法(逐差相加法)求解。例4已知数列na中11211,241nnaaan，求na的通向公式解：由已知得，1211114122121nnaannn，令1,2,...,1nn，代入1n个等式累积，即21321111111...1...23352321nnaaaaaann1111221naan4342nnan4．2类型2递推公式为1nnaafn。解法：（1）把原递推公式转化为1nnafna，利用累乘法求解。例5已知数列na满足112,31nnnaaan，求na的通向公式。解：由条件知11nnanan，分别令n=1，2，3……，(n-1)，代入上式得(n-1)个等式累乘之，即（2）由1nnafna和1a确定的递推数列na的通项可如下求得：由已知递推式有11nnafna，122nnafna，…，211afa依次向前代入，得112...21nafnfnffa，简记为，这就是叠（迭）代法的基本模式。例6已知11313,(1)32nnnaaann，求na。解：13(1)13(2)1321313(1)23(2)232232nnnaann3437526331348531nnnnn。[4]4．3类型3递推公式为1nnnpaaqas（p,q,s,为常数）。解法：利用两边取倒数求通向公式。例7已知数列的na首项1133,521nnnaaaa，求na的通向公式解1131212133nnnnnaaaaa，111111211,133nnaaa，11na是以23为首项，13为公比的等比数列112121333nnna，332nnna另解：设321xxx，解得120,1xx方法1：131121nnnaaa，整理得，11121nnnaaa则121132111nnnnaaaa即11111311nnaa故数列111na是以为32首项，为3公比的等比数列则1113132nna，即332nnna方法2：由1321nnnaaa，11121nnnaaa可得，11311nnnnaaaa故数列1nnaa是以32为首项，3为公比的等比数列则132nnnaa，即332nnna。点评：形如1nnnsatapaq（,,,,stpq为常数）的数列可用方程sxtxpxq解得两根12,xx，然后利用111nnnsataxxpaq或122nnnsataxxpaq，直接整理转化求解，也可将两式作比进行求解，此种方法称为“特征根法”。[5]4．4类型4递推公式为0),(nnaSf型的。解法：（1）用“退一相减法”；（2）利用)2(,1nSSannn；（3）归纳，猜想，证明。方法（1）和方法（2）的实质是由混合型的转化为纯粹型的，也就是“减元思想”的应用。例8已知数列na的前n项和nS与na之间满足12lglglg12nnnnSaSa，求na的通向公式解21lglg12nnnnSaSa2141nnnnSaSa210nnSa，1nnSa(1)下面用三种方法解答：方法一：下标退一，可得111nnSa(2)(1)-(2)得11,2nnnnnaaaaa即122nnana，由111Sa，得112a数列na是以112a为首项，以为12公比的等比数列1111222nnna方法二：由)2(,1nSSannn得11nnnSSS，11122nnSS可得，11112nnSS，11112nnSS，数列1nS是以1112S为首项，以12为公比的等比数列。所以11111222nnnS，则112nnS，当2n时，112nnnnaSS又1112aS适合此式，所以12nna方法三：易得123111,,248aaa，故猜想12nna下面用数学归纳法证明（证略）4．5类型5递推公式为（其中p，q均为常数，）。解法：一般采用待定系数法将原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。[6]例9已知数列中，，求。解：令12,nnatat与已知123nnaa比较，得3t1323nnaa，所以，数列3na是以134a为首项，2为公比的等比数列所以1113322nnnaa即123nna[7]4．6类型6递推公式为2na=p1na+qna(p、q均为常数)（又称二阶递归）解法：将原递推公式2na=p1na+qna，转化为2na-1na＝（1na-na）并且由pq解出、因此可以得到数列｛1na-na｝是等比数列。特殊地对于nnnqapaa121qp型的递推公式，我们可以的这样分析：∵1qp∴qp1nnnqaaqa121nnnaaqa11nnnnaaqaa112qaaaannnn112∴nnaa1是以12aa为首项，公比为q的等比数列例10已知数列中a1=1，a2=532na=531na-23na,求数列｛na｝的通项公式na。解：令2na-1na＝（1na-na）由5323解得：＝1、＝23则由此可得2na-1na＝23（1na-na），a2-a1=23∴na-1na=123n∴na＝（na-1na）+（1na-2na）+┈+（a2-a1）+a1=123n+223n+┈+23+1=3-123nn.∴na＝3-123nn总之，求数列通向公式的方法并不满足以上所述，对于同一问题的求解也不仅是一种方法，只有在平时学习与探究过程中不断地体会与总结，将知识与方法学活，才可以做到游刃有余。参考文献[1]高慧明.数列通项的求法在2008年高考中的展示.[J]试题与研究,2008,20.[2]龙志明.数列通项公式的九种求法.[J]求学,2005,11.[3]陈云烽.递推数列通项的求解.[J]中学数学教学参考,2007,6.[4]刘有路.叠加叠乘在高考数列解题中的应用.[J]试题与研究,2005,14.[5]高慧明.数列通项的求法在2008年高考中的展示.[J]试题与研究,2008,20.[6]吴怀芳.求数列通项的几种常见类型.[J]试题与研究,2005,26.[7]聂文喜.高考递推数列题型分类解析.[J]试题与研究,2006,26.