高中数学椭圆的经典知识

椭圆复习一、选择题1．(09·浙江)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P，若AP→＝2PB→，则椭圆的离心率是()A.32B.22C.13D.122．已知P是以F1、F2为焦点的椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上一点，若PF1→·PF2→＝0，tan∠PF1F2＝12，则椭圆的离心率为()A.12B.23C.13D.533．已知点M(3，0)，椭圆x24＋y2＝1与直线y＝k(x＋3)交于点A、B，则△ABM的周长为()A．4B．8C．12D．164．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)与双曲线x2m2－y2n2＝1(m0，n0)有相同的焦点(－c，0)和(c,0)(c0)．若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是()A.33B.22C.14D.125．(理)已知F是椭圆x225＋y29＝1的一个焦点，AB为过其中心的一条弦，则△ABF的面积最大值为()A．6B．15C．20D．126．(2010·山东济南)设F1、F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1的左、右焦点，c＝a2－b2，若直线x＝a2c上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是()A.0，22B.33，1C.22，1D.0，337．如图F1、F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为()A.32B.12C.22D.3－18．(杭州五校)椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为()A.14B.12C．2D．410．(宁波余姚)如果AB是椭圆x2a2＋y2b2＝1的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kAB·kOM的值为()A．e－1B．1－eC．e2－1D．1－e2二、填空题11．(文)已知F1、F2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的焦点，M为椭圆上一点，MF1垂直于x轴，且∠F1MF2＝60°，则椭圆的离心率为________．(理)(08·江苏)在平面直角坐标系xOy中，设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的焦距为2c.以点O为圆心，a为半径作圆M.若过点Pa2c，0作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为________．12．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆x225＋y29＝1上，则sinA＋sinCsinB＝________.13．设椭圆x225＋y216＝1上一点P到右准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足OM→＝12(OP→＋OF→)，则|OM→|＝________.14．若右顶点为A的椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上存在点P(x，y)，使得OP→·PA→＝0，则椭圆离心率的范围是________．三、解答题15．(文)点A、B分别是椭圆x236＋y220＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴的上方，PA⊥PF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．(理)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．16．(文)已知椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点的连线构成一个正三角形，且焦点到椭圆上的点的最短距离为3，求该椭圆的方程．(理)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B(0，－1)，且其右焦点到直线x－y＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆方程；(2)是否存在斜率为k(k≠0)，且过定点Q(0，32)的直线l，使l与椭圆交于两个不同的点M、N，且|BM|＝|BN|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.17．(文)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为32，求△AOB面积的最大值．(理)如图，在椭圆C中，点F1是左焦点，A(a,0)，B(0，b)分别为右顶点和上顶点，点O为椭圆的中心．又点P在椭圆上，且OP∥AB，点H是点P在x轴上的射影．(1)求证：当a取定值时，点H必为定点；(2)如果点H落在左顶点与左焦点之间，试求椭圆的离心率的取值范围；(3)如果以OP为直径的圆与直线AB相切，且凸四边形ABPH的面积等于3＋2，求椭圆的方程．