高中数学第三章第2节抛物线知识精讲理北师大版选修2-1

1高二数学选修2－1第三章第2节抛物线北师大版（理）【本讲教育信息】一、教学内容选修2—1抛物线的标准方程及其几何性质二、教学目标1、掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程的四种形式及其几何性质，并能熟练地应用定义、几何性质解决抛物线问题。2、方程的数学思想、函数的数学思想、等价转化的数学思想、数与形结合的思想及待定系数法、定义法等数学思想方法的应用。三、知识要点分析1、抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线L（L不过F点）的距离相等的点的集合叫抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，定直线L叫做抛物线的准线。2、抛物线的标准方程形式：pxy22（p0）pxy22（p0）pyx22（p0）pyx22（p0）P：称为焦准距（焦点到准线的距离）3、抛物线的几何性质：对称性，范围，顶点，离心率，（以pxy22为例）4、抛物线的通径：过抛物线焦点F且垂直于对称轴的直线，与抛物线相交于P1、P2两点，则两交点)PP(21之间的距离就是抛物线的通径，长度是2p。5、有关的重要结论：设过抛物线pxy22的焦点的直线的倾斜角是，与抛物线交于A（),(),,2211yxByx。则有下列结论（1）|AB|=pxx21，|AB|=2sinp2，（显然当90时，|AB|最小。最小值是2p，此时|AB|是抛物线的通径。）（2）21xx2212,4pyyp（3）sin22pSAOB2（4）pBFAF2||1||1（定值）（5）以|AB|为直径的圆与准线相切。【典型例题】考点一：考查求抛物线的标准方程例1、已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M（m，－3）到焦点F的距离是5，求抛物线的方程、m的值、准线方程。【思路分析】因顶点在原点，对称轴是y轴，点M（m，－3）位于第三、四象限。故可设抛物线方程是)0(,22ppyx设所求的抛物线方程为)0(,22ppyx，则焦点F)2,0(p)3,(mM在抛物线上，且|MF|=5，6245)23(6222mppmpm，故抛物线的方程为62,82myx，准线方程为y=2。【说明】此解法用待定系数法求p的值确定抛物线的方程。例2、设过P（－2，4），倾斜角为43的直线L与抛物线C交于A，B两点，抛物线C的顶点在原点，以x轴为对称轴，若|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，求抛物线C的标准方程。【思路分析】由已知得：抛物线的开口方向不定，故可设抛物线方程为)0a(,ax2y2直线L的方程为y=－x+2.利用|PA|，|AB|，|PB|成等比数列转化为P，A，B三点纵坐标之间的关系。由此关系求a的值。解：设A),(),,(2211yxByx由已知得L：y=－x+20422222aayyxxyaxy整理得：消去01642aa……………………（#）ayyayy4,22121，由|PA|，|AB|，|PB|共线且成等比数列得：|4||,||,4|2211yyyy成等比数列即有：|4y||4y||yy|21221212212121yy4)yy(|16)yy(4yy|………………（*）把得：代入(*)4,22121ayyayyaaa4|4|2且满足（#）3故：a=1，即所求的抛物线C的标准方程是xy22考点二：考查抛物线定义的应用例3、已知抛物线)0(,22ppxy的焦点是F，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，|FA|=m，|FB|=n，求证：pnm211【思路分析】设),(),,(2211yxByxA，由抛物线定义得：2||,2||21pxFBpxFA4)(2)2)(2(2212121pxxpxxpxpxmn，pxxnm21由AB的直线方程与抛物线方程组成方程组利用根与系数关系可证证明：（1）当AB垂直于x轴时，此时m=n=p，结论成立。（2）当AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率是k，则AB：)2(pxky4)2(2)2(222222pkxppkxkpxypxky整理得：=0故4,22212221pxxkppkxx由抛物线定义得：2||,2||21pxFBpxFA4)(2)2)(2(2212121pxxpxxpxpxmn，pxxnm21)nm(2pmnkp2pk2nm,kp2pk22pkp2pk2p2pmn2222222故pnm211。【说明】在本题证明的过程中不要忽视AB的倾斜角为90°（即斜率不存在的情形）例4、长度为2的线段AB的两端点在抛物线2xy上移动，求AB中点到x轴距离的最小值。【思路分析】解法一：要求AB中点到x轴距离的最小值，只要求AB中点纵坐标的最小值，设A（),211xx，B（),222xx故AB中点纵坐标222210xxy，利用|AB|=2及不等式有关性质建立关于0y的不等式。4解法二：利用抛物线定义：AB中点M到x轴距离的最小值就是M点到准线距离的最小值减去41，利用平面几何定理（梯形中位线性质）及2||||||ABBFAF可求。解法一：设A（),211xx，B（),222xx则AB中点纵坐标022212221022yxxxxy由|AB|=24)(22221221xxxx（）4])(1[)(221221xxxx即4)21)(2(212221222121xxxxxxxx4)]xx2xx1()xxx2x[()xx2xx1)(xxx2x(2212221222121212221222121=4)](21[22221xx=4)41(20y43(4544)41(0020yyy舍去），或当且仅当轴距离中点到时，xAB41xxxx2xx1xx2xx21212221212221的43最小值是解法二：分别过A，B，M（AB中点）作准线L：y=41的垂线，垂足分别是111,,BMA，则||1MM是梯形BBAA11的中位线，即|)||(|21||111BBAAMM由抛物线定义知：|||||,|||11BFBBAFAA故：1||21|)||(|21||1ABBFAFMM5即M点到x轴距离的最小值是43411【说明】比较两种不同的解法知：巧用抛物线的定义解决问题更加简洁明了，在解决抛物线的有关问题时，要时时关注其定义的应用。考点三：抛物线在实际问题中的应用例5、某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔如图所示，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，有一货船欲过此桥孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部分中央船体高5米，宽16米，且该货船在现在的状态下还能多装1000吨货物，但每装150吨货物，吃水线就要上升0.04米。若不考虑水下深度，问该货船在现在的状态下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？【思路分析】根据已知条件建立如图所示的坐标系。由A（10，－2）确定抛物线的方程。由装1000吨货物计算吃水线上升的距离，从而计算此时船体的高=5－吃水线上升的距离，然后与C点到水面的距离比较。解：建立如图所示的坐标系。设抛物线的方程是pyx22，A（10，－2）故有：100=4p，即p=25，抛物线方程是yx502。让船沿正中央航行，船边缘在抛物线上的射影是C（8，y），代入抛物线方程得y=－1.28.此时C点距水面的距离是6－1.28=4.72米因船体高出水面5米，现有状态下无法通过。当再装1000吨货物时，吃水线上升米）(15404.01501000由于：5－72.41571154，所以再多装1000吨货物也无法通过。【本讲涉及的数学思想、方法】本讲主要讲述抛物线的标准方程及其几何性质的有关知识，在运用这些知识解决问题时，充分体现了方程的数学思想、等价转化的数学思想、数与形结合的数学思想及定义法、待定系数法等数学思想方法的应用。预习导学案（双曲线的标准方程及其几何性质）6一、预习前知（1）在初中学过的函数中，哪一个函数的图像是双曲线？它的解析式是什么？（2）根据课本提供的实验请你画出双曲线。二、预习导学探究反思：探究反思的任务：双曲线的标准方程及其几何性质：1、双曲线的第一定义是。双曲线的第二定义是。【反思】若动点到两定点的距离之差的绝对值等于两定点的距离，则动点的轨迹是什么？若动点到两定点的距离之差的绝对值大于两定点的距离，则动点的轨迹是否存在？为什么？2、双曲线的标准方程有哪两种形式？其标准方程是，。a，b，c的关系是。【反思】利用轨迹法推导双曲线的标准方程。3、双曲线的几何性质有哪些？（范围，对称性，实轴、虚轴，渐近线，准线方程，离心率）【反思】（1）根据上述图形分别写出其几何性质（2）双曲线的离心率范围是什么？椭圆、抛物线、双曲线能否统一定义？4、双曲线的焦点半径：设P（),00yx是双曲线右支上的任意一点图（1），F1，F2分别是其左右焦点。则aexPFaexPF0201||,||【反思】（1）若P点在图（1）中的左支上，|PF|1，|PF|2若P点在图（2）的上、下支上，结果又如何？（2）利用双曲线的第二定义证明aexPFaexPF0201||,||。【模拟试题】（答题时间：100分钟）一、选择题：（共5小题，每题6分，计30分）1、经过点P（－2，－4）的抛物线的标准方程是（）A.yx2B.xy82C.xyyx822或D.xyxy822或2、抛物线)0(,2aaxy的焦点坐标是（）A.)0,41(aB.（)0,4aC.（)0,4aD.（0，)4a3、到直线x=2的距离与定点P（0，2）距离相等的点的轨迹是（）7A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.直线*4、设F是抛物线xy42的焦点，A，B，C是抛物线上三个点，若0FCFBFA，则(||||||FCFBFA）A.9B.6C.4D.3*5、若A（3，2），F为抛物线xy22的焦点，P点在抛物线上移动，当|PA|+|PF|取得最小值时P点坐标是（）A.（3，3）B.（2，2）C.（)1,21D.（0，0）**6、若抛物线231xy上的两点A，B的横坐标恰是方程02qpxx两根，（p，q为实常数），则AB的直线方程是（）A.qx+3y+p=0B.qx－3y+p=0C.px+3y+q=0D.px－3y+q=0二、填空题：（每小题5分，计30分）**7、过抛物线pyx22（p0）的焦点F作倾斜角为的弦，则弦长是。8、抛物线2xy的准线方程是。*9、抛物线yx22上离点A（0，a）最近的点恰好是顶点，则a的取值范围是。10、在平面直角坐标系中，有一定点A（4，2），若线段OA的垂直平分线过抛物线)0p(px2y2的焦点，则该抛物线的准线方程是。*11、已知P（x，y）满足：|1243|)2()1(522yxyx，则点P的轨迹是。三、计算题：（40分）12、（12分）抛物线的顶点在原点，它的准线过椭圆)0(,12222babyax的一个焦点，且垂直于椭圆两个焦点所在的直线，又椭圆与抛物线的一个交点M（)362,32，求抛物线和椭圆的方程。*13、（13分）若抛物线的焦点在x轴上，开口向右，且抛物线上的点到直线L：4x+3y+46=0的距离的最小值是2。求：抛物线方程**14、（15分）A，B是抛物线)0(,22ppxy上的两点，且OAOB，（O为坐标原点），求：（1）A，B两点的横坐标之积与纵坐标之积都是定值，（2）直线AB过一定点。（3）O在线段AB上的射影M点的轨迹方程。8【试题答案】一、选择题：1.C2.B3.A4.B5.B6.C二、填空题：7.2cos2p8.4y+1=09.a110.25x11.抛物线三、计算题：