高中数学等差数列教案(二)

课题：3.3等差数列的前n项和（二）教学目的：1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式教学难点：灵活应用求和公式解决问题授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节是在集合与简易逻辑之后学习的，映射概念本身就属于集合的教学过程：一、复习引入：首先回忆一下上一节课所学主要内容：1.等差数列的前n项和公式1：2)(1nnaanS2.等差数列的前n项和公式2：2)1(1dnnnaSn3.n)2da(n2dS12n，当d≠0，是一个常数项为零的二次式4.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1）利用na:当na0，d0，前n项和有最大值奎屯王新敞新疆可由na≥0，且1na≤0，求得n的值奎屯王新敞新疆当na0，d0，前n项和有最小值奎屯王新敞新疆可由na≤0，且1na≥0，求得n的值奎屯王新敞新疆（2）利用nS：由n)2da(n2dS12n二次函数配方法求得最值时n的值奎屯王新敞新疆二、例题讲解例1.求集合M={m|m=2n－1,n∈N*,且m＜60}的元素个数及这些元素的和.解：由2n－1＜60,得n＜261,又∵n∈N*∴满足不等式n＜261的正整数一共有30个.即集合M中一共有30个元素，可列为：1，3，5，7，9，…，59，组成一个以1a=1,30a=59,n=30的等差数列.∵nS=2)(1naan,∴30S=2)591(30=900.答案：集合M中一共有30个元素，其和为900.例2.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2，并求这些数的和奎屯王新敞新疆分析：满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,m∈N*}解：分析题意可得满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,n∈N*}由3n+2＜100,得n＜3232,且m∈N*,∴n可取0，1，2，3，…，32.即在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2.把这些数从小到大排列出来就是：2，5，8，…，98.它们可组成一个以1a=2,d=3,33a=98,n=33的等差数列.由nS=2)(1naan,得33S=2)982(33=1650.答：在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2，这些数的和是1650.例3已知数列,na是等差数列，nS是其前n项和，求证：⑴6S，12S-6S，18S-12S成等差数列；⑵设kkkkkSSSSS232,,（Nk）成等差数列证明：设,na首项是1a，公差为d则6543216aaaaaaS∵121110987612aaaaaaSS)6()6()6()6()6()6(654321dadadadadadadSdaaaaaa3636)(6654321∵∴1817161514131218aaaaaaSS)6()6()6()6()6()6(121110987dadadadadadadaaaaaa36)(121110987dSS36)(61212186126,,SSSSS是以36d为公差的等差数列奎屯王新敞新疆同理可得kkkkkSSSSS232,,是以2kd为公差的等差数列.三、练习：1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.分析：将已知条件转化为数学语言，然后再解.解：根据题意，得4S=24,5S－2S=27则设等差数列首项为1a,公差为d,则27)2)12(22()2)15(55(242)14(44111dadada解之得：231da∴na=3+2（n－1）=2n+1.2．两个数列1,1x,2x,……,7x,5和1,1y,2y,……,6y,5均成等差数列公差分别是1d,2d,求21dd与621721yyyxxx的值奎屯王新敞新疆解：5＝1＋81d,1d＝21,又5＝1＋72d,2d＝74,∴21dd＝87;1x+2x+……+7x＝74x＝7×251＝21,1y+2y+……+6y＝3×(1＋5)＝18,∴621721yyyxxx＝67.3．在等差数列{na}中,4a＝－15,公差d＝3,求数列{na}的前n项和nS的最小值奎屯王新敞新疆nS的最小值奎屯王新敞新疆解法1：∵4a＝1a＋3d,∴－15＝1a＋9,1a＝－24,∴nS＝－24n＋2)1(3nn＝23[(n－651)2－36512],∴当|n－651|最小时，nS最小，即当n＝8或n＝9时，8S＝9S＝－108最小.解法2：由已知解得1a＝－24,d＝3,na＝－24＋3(n－1),由na≤0得n≤9且9a＝0,∴当n＝8或n＝9时，8S＝9S＝－108最小.四、小结本节课学习了以下内容：na是等差数列，nS是其前n项和，则kkkkkSSSSS232,,（Nk）仍成等差数列奎屯王新敞新疆五、课后作业：1．一凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为100°,求边数n.解：由(n－2)·180＝100n＋2)1(nn×10，求得n2－17n＋72＝0,n＝8或n＝9,当n＝9时,最大内角100＋(9－1)×10＝180°不合题意，舍去，∴n＝8.2．已知非常数等差数列{na}的前n项和nS满足5)1(222310mnnmnSmn(n∈N,m∈R),求数列{35na}的前n项和.解：由题设知nS＝lg(5)1(2223mnnmnm)＝lgm2＋nlg3＋5)1(2mnnmlg2,即nS＝[2lg5)1(m]n2＋(lg3＋2lg5m)n＋lgm2,∵{na}是非常数等差数列，当d≠0，是一个常数项为零的二次式∴2lg5)1(m≠0且lgm2＝0,∴m＝－1,∴nS＝(－52lg2)n2＋(lg3－51lg2)n,则当n=1时，1a＝2lg533lg当n≥2时,na＝nS－1nS＝(－52lg2)(2n－1)＋(lg3－51lg2)＝2lg513lg2lg54n∴na＝2lg513lg2lg54nd=nnaa1=2lg5435na=2lg513lg2lg)35(54n=2lg5113lg2lg4n数列{35na}是以8a=2lg5313lg为首项,5d=2lg4为公差的等差数列，∴数列{35na}的前n项和为n·(2lg5313lg)＋21n(n－1)·(2lg4)＝nn)2lg5213(lg2lg223．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差d.解：设这个数列的首项为1a,公差为d，则偶数项与奇数项分别都是公差为2d的等差数列，由已知得27323063063546612121dadada,解得d＝5.解法2：设偶数项和与奇数项和分别为S偶，S奇，则由已知得2732354奇偶奇偶SSSS,求得S偶＝192，S奇＝162，S偶－S奇＝6d,∴d＝5.4．两个等差数列，它们的前n项和之比为1235nn,求这两个数列的第九项的比奎屯王新敞新疆解：38)(217)(217'171717117117117199SSbbaabbaaba.5．一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求它的前110项和奎屯王新敞新疆解：在等差数列中，10S,20S－10S,30S－20S,……,100S－90S,110S－100S,成等差数列，∴新数列的前10项和＝原数列的前100项和，1010S＋2910·D＝100S＝10,解得D＝－22∴110S－100S＝10S＋10×D＝－120,∴110S＝－110.6．设等差数列{na}的前n项和为nS，已知3a＝12，12S0，13S0，(1)求公差d的取值范围；(2)指出1S,2S,3S,……,12S中哪一个最大，说明理由奎屯王新敞新疆解：(1)0212131302111212113112daSdaS06011211dada,∵3a＝1a＋2d＝12,代入得030724dd,∴－724d－3,(2)13S＝137a0,∴7a0,由12S＝6(6a＋7a)0,∴6a＋7a0,∴6a0,6S最大.六、板书设计（略）七、课后记：