高中数学解三角形辅导讲义

中小学个性化教育专家学科教师辅导讲义学员编号：年级：高中课时数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题解三角形授课时间：备课时间：教学目标重点、难点正余弦定理的运用考点及考试要求解三角形一、正弦定理在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sinaAc，sinbBc，又sin1cCc,则sinsinsinabccABC从而在直角三角形ABC中，sinsinsinabcABC对于任意的三角形可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1.1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=sinsinaBbA,则sinsinabAB，C同理可得sinsincbCB，ba从而sinsinabABsincC过A作单位向量j垂直于AC由AC+CB=AB两边同乘以单位向量j得j•(AC+CB)=j•AB则j•AC+j•CB=j•AB∴|j|•|AC|cos90+|j|•|CB|cos(90C)=|j|•|AB|cos(90A)∴AcCasinsin∴Aasin=Ccsin中小学个性化教育专家同理，若过C作j垂直于CB得：Ccsin=Bbsin∴Aasin=Bbsin=Ccsin从而sinsinabABsincC正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sinsinabABsincC(1)正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使sinakA，sinbkB，sinckC；(2）sinsinabABsincC等价于sinsinabAB，sinsincbCB，sinaAsincC从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sinsinbAaB；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsinaABb。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。在ABC中，已知20acm，28bcm，040A，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm）。：根据正弦定理，0sin28sin40sin0.8999.20bABa因为00＜B＜0180，所以064B，或0116.B(1)当064B时，00000180()180(4064)76CAB，00sin20sin7630().sinsin40aCccmA(2)当0116B时，00000180()180(40116)24CAB，00sin20sin2413().sinsin40aCccmA【课堂练习】1、ABC中，45,60,10,ABa则b等于（）A52B102C1063D562、在△ABC中，已知8a，B=060，C=075，则b等于A.64B.54C.34D.3223、在△ABC中，a＝32，b＝22，B＝45°，则A等于（）中小学个性化教育专家A．30°B．60°C．30°或120°D．30°或150°4、在△ABC中，abc、、分别是三内角ABC、、的对边,45,75CA,2b=,则此三角形的最小边长为（）A．46B．322C．362D．425、在ABC中，B=30，C=45，c=1，则最短边长为（）A．63B．22C．12D．326、在ABC中，若边42,4ac，且角4A，则角C=________；7、在ABC中，已知045,1,2Bcb，则C＝________;8、在△ABC中，0045,30,2ABb，则a边的值为_________;9、已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且54cos,3,2Bba，则Asin的值为________;10、在ABC中，若1b，3c，23C，则a=__________;在解三角形过程中都使用三角形内角和定理，可见，三角形内角和定理在解三角形中的重要应用。应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。(1)定理的表示形式：sinsinabABsincC0sinsinsinabckkABC；或sinakA，sinbkB，sinckC(0)k(2)正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。二、余弦定理如图1.1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和C，求边c。如图1．1-5，设CBa，CAb，ABc，那么c=a-b，2||c=cc=(a-b)(a-b)A=aa+bb-2abbc从而2222coscababCCaB中小学个性化教育专家同理可证2222cosabcbcA(图1．1-5)2222cosbacacB于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即2222cosabcbcA2222cosbacacB2222coscababC从余弦定理，又可得到以下推论：222cos2bcaAbc222cos2acbBac222cos2bacCba从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角。勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？若ABC中，C=090，则cos0C，这时222cab由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。例在△ABC中，已知B=60cm，C=34cm，A=41°，解三角形(角度精确到1°，边长精确到1cm）。(课本P7例3)解：根据余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA=602+342-2·60·34cos41°≈3600+1156-4080×0.7547≈1676.82，所以，a≈41c由正弦定理得sinC=4141sin34sinaAc≈41656.034≈0.5440.因为C不是三角形中最大的边，所以C是锐角.利用算器可得B=180°-(A+C)=180°-(41°+33°)注：在利用余弦定理解三角形时，也要注意判断有两解的情况【课堂练习】1、ABC△中，若537AB，AC，BC，则A的大小为（）A．150B．120C．60D．30中小学个性化教育专家2、在△ABC中，若222cabab，则∠C=（）A.60°B.90°C.150°D.120°3、在ABC中，222acbab，则C（）A.60B.45或135C.120D.304、边长为5,7,8的三角形的最大角的余弦是（）.A．71B．71C．1411D．1415、若ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且222abcbc，则角A的大小为（）A．6B．3C．32D．3或326、在ABC中，abc、、分别是三内角ABC、、的对边，且22sinsin(sinsin)sinACABB，则角C等于()A．6B．3C．56D．237、ABC中，若CACBAsinsinsinsinsin222那么角B=___________8、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若CaAcbcoscos3，则Acos9、△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，aAbBAa2cossinsin2，则ab10、已知,,ABC是ABC的内角，并且有222sinsinsinsinsinABCAB，则C______小结：(1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；(2)余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边。三、解三角形的应用1.正弦定理：Aasin===。2.余弦定理：2a，2b，2c。Acos，Bcos，Ccos。1.与测量有关的术语、名词（1）仰角、俯角：视线与水平线所成角中，视线在水平线上的称为仰角，在水平线下的称为俯角。中小学个性化教育专家视线水平线仰角视线俯角如图所示：（2）方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角。如图，方向线PA、PB的方位角分别是400、2400。（3）方向角：指北或指南的方向线与目标线所成的小于900的角，叫做方向角，她是方位角的另一种表示形式。如图：目标OA、OB的方向角分别为北偏东600和南偏西300。此外还有特殊方向角，如正东方向，东南方向等。（４）视角：由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角。如图：２.应用解三角形知识解实际问题的４个步骤是：（1）根据题意作出示意图；（2）确定实际问题所涉及的三角形以及三角形中的已知和未知元素；（3）选用正、余弦定理求解；（4）给出答案。类型一：水平面上测量距离问题练习1:如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B望对岸标记物C，测得030CAB,075CBA,AB=120m，求河的宽度。类型二：竖直面上测量高度问题练习2：地面上竖着一根旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上取一点A，在A处测得P点的仰角为030，测得点A到旗杆底部O的距离为312米，求旗杆的高度。类型三：航海问题练习3：两艘游艇A、B与海洋观察站C的距离都等于a，游艇A在C北偏东030，B在C南偏东060，求A、B之间的距离。OAB视角1200北AB400P300北AB600O030BAC075中小学个性化教育专家练习4：某船开始看见灯塔在南偏东030方向，后来船沿南偏东060的方向航行45海里后看见灯塔在正西方向，求这时船与灯塔的距离。【综合训练】1、在△ABC中，a＝10，B=60°,C=45°,则c等于（）A．310B．1310C．13D．3102、在△ABC中，a＝12，b＝13，C＝60°，此三角形的解的情况是（）A．无解B．一解C．二解D．不能确定3、在△ABC中，已知bccba222，则角A为（）A．3B．6C．32D．3或324、在△ABC中，若BbAacoscos，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形5、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（）A．10,8B．10,8C．10,8D．8,106、甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（）A．7150分钟B．715分钟C．21.5分钟D．2.15分钟7、飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C得俯角为30°，向前飞行10000米，到达B处，此时测得目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为（）A．5000米B．50002米C．4000米D．24000米8、在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则cba::9、在△ABC中，Bca,2,33150°，则b＝10、在△ABC中，A＝60°，B＝45°，12ba，则a＝；b＝11、已知△ABC中，Aba,209,181121°，则此三角形解的情况是12、在△ABC中，已知210AB，A＝45°，在BC边的长分别为20，3320，5的情况下，求相应角C。13、在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程02322xx的两个根，且1cos2BA。求：(1)角C的度中小学个性化教育专家数；(2)AB的长度。14、在△ABC中，证明：2222112cos2cosbabBaA。15、海岛O上有一座海拨1000米的山,山顶上设有一个