高中数学解题思路大全—再谈解题切入点的找寻

1再谈解题切入点的找寻求解数学题的关键在于准确快速地找到解题的切入点，那么，如何寻找解题的切入点呢？文［1］做出了一些有益的探索，本文结合实例再谈一些具体做法。1.紧扣定义理解定义、掌握定义、活用定义是解题的一把金钥匙，也是寻找解题切入点的一条重要途径。例1.若点M（x，y）满足0|3|)1()3(22yxyx，则点M的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解：由0|3|)1()3(22yxyx，得22|3|)1()3(22yxyx此式可以看成是动点M（x，y）到定点（-3，1）与到定直线03yx距离之比为2的点的轨迹，根据圆锥曲线的定义，此轨迹为双曲线，故选C。注：本题若移项再平方，可进行化简，但表达式中会出现xy项，对曲线的形状的判断有点难度，通过对原式的合理变形，利用圆锥曲线的定义则能很快解决。2.深挖隐含隐含条件是指隐而不显，含而不露的已知条件，它们常常巧妙地隐藏在题目的背后，极易被解题者忽视，从而造成错解或繁解，甚至无法解决。优先考虑隐含条件往往能减少运算量，简化或避免复杂的变化与讨论，找到解题切入点，使问题简捷获解。例2.已知x，y是实数，且满足1)1(1997)1(3xx，1)1(1997)1(3yy，则yx_________。分析：按常规思路是解方程分别求出x和y，而x，y无法求出，思维受阻。若观察题目条件，发现)1(1997)1(3xx与)1(1997)1(3yy具有对称性。若令tttf1997)(3，则)1(1997)1()1(3xxxf，)1(1997)1()1(3yyyf。这样使两方程联系起来。解：令tttf1997)(32则1)1(1997)1()1(3xxxf1)1(1997)1()1(3yyyf又易知)(xf在R上是奇函数，则)1()1()1(yfyfxf，又)(xf在R上是增函数，故yx11，即2yx。例3.解方程组)2(33|1|)1(4|1||1|yxyx分析：此题按常规方法，需要分四种情况，讨论去掉绝对值符号，然后解方程组。但我们观察（2）式可以挖掘出一个隐含条件01y，利用这个隐含条件可以避免讨论。解：由（2）知01y，（1）式可以变形为)3(4)1(|1|yx由（2），（3）解得3|1|x4221xx，，分别代入（2）得原方程组的解为24222211yxyx，3.展开联想对于某些数学问题，从结构上的特点出发，在寻求命题的条件和结论间的逻辑联系时，由此及彼地联想（联想定义、定理或解决过的类似问题等），常常能启发思维，找到解题的切入点。例4.已知)(xf是定义在R上的函数，且)(1)](1)[2(xfxfxf，1)(xf，32)1(f，求)1989(f的值。分析：由)(1)](1)[2(xfxfxf且1)(xf，)(1)(1)2(xfxfxf联想到三角公式tan1tan1)4tan(。由xytan的周期为344，猜想可能为周期函数，428是它的一个周期。解：1)()(1)](1)[2(xfxfxfxf，)(1)2(1)2(1]2)2[()4()(1)(1)2(xfxfxfxfxfxfxfxf)()4(1]4)4[()8(xfxfxfxf因此)(xf是以8为周期的周期函数。)1985(1)41985()1989(32)1()18248()1985(ffffff233214.把握转化化归与转化的思想方法无处不在，它是寻求问题解决过程中最重要、最活跃的一个环节，是分析、解决问题的有效途径，是数学中最基本、最常用、最重要的思想方法，也是寻找解题切入点的常用方法。例5.两条异面直线称为“一对”，则在正方体八个顶点间的所有连线中，成异面直线的共有多少对？分析：如果以其中一条棱进行分类的话，很难搞清“重”和“漏”，然而我们对以下两题很熟悉：①以正方体的八个顶点为顶点的三棱锥有多少？②如果两条异面直线称为“一对”的话，一个三棱锥中有多少对异面直线？故可把本题分解成两个熟悉的问题，即考虑一种对应，由于①的答案是581248C个；②的答案是3对，故本题答案为174358对。点评：若直接寻找异面直线的对数很繁且易漏，而引入三棱锥通过计算三棱锥的个数，使得三棱锥的个数与异面直线的对数建立了一个对应，从而使问题转化为我们所熟悉的问题。5.数形结合数形结合是寻找解题切入点的一条重要途径，它是把已知或要求的式子与图形结合起来。应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决。运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征。4例6.已知2))(()(bxaxxf（其中ba），且、是方程0)(xf的两根（），则实数a、b、、的大小关系为（）A.baB.baC.baD.ba解析：a，b是方程0))(()(bxaxxg的两根，在同一坐标系中作出函数)()(xgxf、的图象如图所示：答案：A