高中数学第六章第3讲等比数列及其前n项和

第3讲等比数列及其前n项和分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为________．解析设数列{an}的公比为q(q＞0)，前n项和为Sn，由a1＝1，a5＝16，得q4＝a5a1＝16，所以q＝2，从而得S7＝a11－q71－q＝127.答案1272．设数列{a2n}前n项和为Sn，a1＝t，a2＝t2，Sn＋2－(t＋1)Sn＋1＋tSn＝0，则{an}是________数列，通项an＝________.解析由Sn＋2－(t＋1)Sn＋1＋tSn＝0，得Sn＋2－Sn＋1＝t(Sn＋1－Sn)，所以an＋2＝tan＋1，所以an＋2an＋1＝t，又a2a1＝t，所以{an}成等比数列，且an＝t·tn－1＝tn.答案等比tn3．(2012·泰州模拟)数列{an}为正项等比数列，若a2＝2，且an＋an＋1＝6an－1(n∈N，n≥2)，则此数列的前4项和S4＝________.解析由a1q＝2，a1qn－1＋a1qn＝6a1qn－2，得qn－1＋qn＝6qn－2，所以q2＋q＝6.又q＞0，所以q＝2，a1＝1.所以S4＝a11－q41－q＝1－241－2＝15.答案154．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n－2－15，则实数t的值为________．解析∵a1＝S1＝15t－15，a2＝S2－S1＝45t，a3＝S3－S2＝4t，∴由{an}是等比数列知45t2＝15t－15×4t，显然t≠0，所以t＝5.答案55．(2012·南京模拟)已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2≥18的最大正整数n的值为________．解析由等比数列的性质，得4＝a2·a4＝a23(a3＞0)，所以a3＝2，所以a1＋a2＝14－a3＝12，于是由a1q2＝2，a1()1＋q＝12，解得a1＝8，q＝12，所以an＝8·12n－1＝12n－4.于是由an·an＋1·an＋2＝a3n＋1＝123(n－3)＝18n－3≥18，得n－3≤1，即n≤4.答案46．(2013·宿迁联考)设a1＝2，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋2an－1－1，n∈N*，则b2011＝________.解析由题意得b1＝a1＋2a1－1－1＝3，bn＋1＝an＋1＋2an＋1－1－1＝2an＋2an－1－1＝2(bn＋1)－1＝2bn＋1，∴bn＋1＋1＝2(bn＋1)，故bn＋1＋1bn＋1＝2，故数列{bn＋1}是以4为首项，2为公比的等比数列．∴bn＋1＝2n＋1，∴bn＝2n＋1－1.答案22012－1二、解答题(每小题15分，共30分)7．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*，且a≠3.(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．解(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，∴{Sn－3n}是等比数列，因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*①(2)由①知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2＝2n－212·32n－2＋a－3，当n≥2时，an＋1≥an⇔12·32n－2＋a－3≥0⇔a≥－9，又a2＝a1＋3a1.综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞)．8．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明由已知有a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，即bn＋1＝2bn.因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．(2)解由(1)知等比数列{bn}中b1＝3，公比q＝2，所以an＋1－2an＝3×2n－1，于是an＋12n＋1－an2n＝34，因此数列an2n是首项为12，公差为34的等差数列，an2n＝12＋(n－1)×34＝34n－14，所以an＝(3n－1)·2n－2.分层训练B级创新能力提升1．已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为54，则S5＝________.解析设数列{an}的公比为q，则由等比数列的性质知，a2·a3＝a1·a4＝2a1，即a4＝2.由a4与2a7的等差中项为54知，a4＋2a7＝2×54，∴a7＝122×54－a4＝14.∴q3＝a7a4＝18，即q＝12.∴a4＝a1q3＝a1×18＝2，∴a1＝16，∴S5＝161－1251－12＝31.答案312．(2011·江苏卷)设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值为________．解析由题意知a3＝q，a5＝q2，a7＝q3且q≥1，a4＝a2＋1，a6＝a2＋2且a2≥1，那么有q2≥2且q3≥3.故q≥33，即q的最小值为33.答案333．已知数列{xn}满足lgxn＋1＝1＋lgxn(n∈N*)，且x1＋x2＋x3＋…＋x100＝1，则lg(x101＋x102＋…＋x200)＝________.解析由lgxn＋1＝1＋lgxn(n∈N*)得lgxn＋1－lgxn＝1，∴xn＋1xn＝10，∴数列{xn}是公比为10的等比数列，∴xn＋100＝xn·10100，∴x101＋x102＋…＋x200＝10100(x1＋x2＋x3＋…＋x100)＝10100，∴lg(x101＋x102＋…＋x200)＝lg10100＝100.答案1004．(2013·盐城调研)已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，其中a1＝2，b1＝1，a2＝b2，2a4＝b3，且存在常数α，β，使得an＝logαbn＋β对每一个正整数n时成立，则αβ＝________.解析由题意，可设an＝2＋(n－1)d，bn＝qn－1，于是由a2＝b2，2a4＝b3，得2＋d＝q，22＋3d＝q2，解得d＝2d≠0，q＝4，所以an＝2n，bn＝22n－2，代入an＝logαbn＋β，得2n＝(2n－2)logα2＋β，即2n(1－logα2)＝β－2logα2，所以logα2＝1，β－2logα2＝0，解得α＝2，β＝2.故αβ＝22＝4.答案45．(2012·镇江统考)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2·a4＝65，a1＋a5＝18.(1)求数列{an}的通项公式an.(2)若1＜i＜21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，求i的值；(3)是否存在常数k，使得数列{Sn＋kn}为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由．解(1)因为a1＋a5＝a2＋a4＝18，又a2·a4＝65，所以a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的两个根．又公差d＞0，所以a2＜a4.所以a2＝5，a4＝13.所以a1＋d＝5，a1＋3d＝13，解得a1＝1，d＝4.所以an＝4n－3.(2)由1＜i＜21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，所以a1·a21＝a2i，即1·81＝(4i－3)2，解得i＝3.(3)由(1)知，Sn＝n·1＋nn－12·4＝2n2－n.假设存在常数k，使数列{Sn＋kn}为等差数列，由等差数列通项公式，可设Sn＋kn＝an＋b，得2n2＋(k－1)n＝an2＋2abn＋b恒成立，可得a＝2，b＝0，k＝1.所以存在k＝1使得{Sn＋kn}为等差数列．6．(2012·苏北四市调研二)设Sn为数列{an}的前n项和，若S2nSn(n∈N*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”．(1)若数列{2bn}是首项为2，公比为4的等比数列，试判断数列{bn}是否为“和等比数列”；(2)若数列{cn}是首项为c1，公差为d(d≠0)的等差数列，且数列{cn}是“和等比数列”，试探究d与c1之间的关系．解(1)因为数列{2bn}是首项为2，公比为4的等比数列，所以2bn＝2·4n－1＝22n－1，因此，bn＝2n－1，设数列{bn}前n项和为Tn，则Tn＝n2，T2n＝4n2，所以T2nTn＝4.因此数列{bn}是“和等比数列”．(2)设数列{cn}的前n项和为Rn，且R2nRn＝k(k≠0)，则由{cn}是等差数列，得Rn＝nc1＋nn－12d，R2n＝2nc1＋2n2n－12d，所以R2nRn＝2nc1＋2n2n－12dnc1＋nn－12d＝k.对于n∈N*都成立，化简得(k－4)dn＋(k－2)(2c1－d)＝0，则有k－4d＝0，k－22c1－d＝0.因为d≠0，所以k＝4，d＝2c1.因此，d与c1之间的等量关系为d＝2c1.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.