高中数学论文图形计算器应用能力测试活动学生指数函数与对数函数交点个数的研究

1辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文图形计算器应用能力测试活动学生指数函数与对数函数交点个数的研究【研究目的】通过图形计算器精准的图形和函数描画功能，利用代入各种不同的数据描画图像，研究对数函数和指数函数这一对反函数的交点个数。在研究过程中，增强自己对函数的认识和理解，加深个人对数学的热爱，解决疑难问题。【研究过程】1.上网搜索有关资料，发现有部分老师和同学研究函数xay与xyalog的交点个数时出现了少许错误。2.代入不同的a值（10aa且），用图形计算器描画函数xay与xyalog的图像，发现新的现象。3.通过计算和不断尝试解释各种情况。4.整理信息，得出结论。具体实施步骤如下：第一步：进入图形功能1.按O打开图形计算器。看到如下画面：2.通过按导航方向键，选择图形功能，按l进入，得到画面如下：2、第二步：输入函数，进行初步探究1．众所周知，函数xay与xyalog是以1a为分界线，那就以01a和1a先进行研究先以5.0a画出两个函数的图像，再加入一条函数xY3为参照：输入xYxYYx35.021,log,5.0$0.5^fl$iwr0.5$fl$fl然后画出图像，可见得有一个交点：2.再代入2.1a，画图，出现两个交点:3第三步：深入探究，观察交点个数1.再次代入a值，出现以下情况：无交点三个交点4相切2.通过已经学习过的知识进行研究：建立坐标系，求出两个函数的导函数，设定交点QP,代入函数，解方程。但由于计算难度过大，所以只可以得出结论：（1）,1eea，两函数无交点（2）eea1，两函数相切于点ee,，有且只有一个交点（3）eea1,1时，有两个不等的交点，都在直线xy上经过老师指导和网上查阅后发现：（4）1,eea，两函数有且只有一个交点（5）eea时，两函数相切（6）eea,0，两函数有三个交点，一个交点在直线xy上，另外两个交点关于直线xy对称进一步研究方向：其他函数与指数函数或对数函数的交点会有几个?例如二次函数，三次函数，幂函数等？研究过程中又是否有更加简便的研究方法和计算方法？能否将此次研究的结论与平时数学学习或是日常生活相联系呢？【总结反思】这是我第一次将图形计算器应用到研究函数交点数方面，此次研究也确实出乎意料。在研究过程中运用以致熟练了用导数来解决交点个数的问题，更重要的是掌握了怎样使用图形计算机的图形功能去深入研究函数的图像。通过使用数形结合的方法，我感觉自己更能解决一些在函数方面的难题了。总的来说，这次的研究，我受益匪浅。十分感谢老师能给我这次机会。