高中数学论文图形计算器应用能力测试活动学生用CASIO—fxCG20探求函数零点的个数

1辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文图形计算器应用能力测试活动学生用CASIO—fxCG20探求函数零点的个数【原问题】已知1,0,21)(xxxf，那么函数)))(((xfffy零点的个数是_______解法一：用零点分段法手工求解。函数)))(((xfffy零点的个数即方程0212121x解的个数。对于该绝对值方程，采用零点分段法去绝对值，可以求得共有四个解：87,85,83,81，故函数的零点个数为4。解法二：用CASIOfx-CG20图形计算器的“解方程（组）”模块求解。图1图2图3图4将求解范围分别锁定在区间25.0,0、5.0,25.0、75.0,5.0和1,75.0上，即可以具体求出该方程的四个解，见图1—4，即函数的零点个数为4。不过该方法需要事先锁定方程的根所在的区间，容易漏根。解法三：用CASIOfx-CG20图形计算器的“图形”模块求解。图5图6输入函数xy212121，绘制函数图像，见图5和图6，观察发现在区间1,0的零点个数共4个。【原问题的推广】已知1,0,21)(xxxf，记)),(()(),()(121xffxfxfxf)),(()(23xffxf…))(()(,1xffxfnn，Nn，探求函数)(xfyn在1,0上的零点个数。分析：2原问题相当于：当3n时，求函数)(xfyn在1,0上的零点个数。现在将原问题推广到一般。于是我们先从3,2,1n开始，寻找结论是否可能存在一些规律。对于3,2,1n，手工计算工作量还不算很大，但是从4n开始，如果采用零点分段法，通过手工计算寻找零点就非常繁琐了。于是借助于CASIOfx-CG20图形计算器的“图形”模块，利用函数的迭代，见图7，就可以非常轻松、直观地得到当6,5,4n时，函数)(xfyn图像与x轴在1,0上的交点个数，即函数)(xfyn在1,0上的零点个数。当3n时，见图8，可得函数)(3xfy在1,0上零点的个数为4；当4n时，见图9，可得函数)(4xfy在1,0上零点的个数为8……图7图8图9归纳：当1n时，函数)(1xfy在1,0上零点的个数为02；当2n时，函数)(2xfy在1,0上零点的个数为12；当3n时，函数)(3xfy在1,0上零点的个数为22；当4n时，函数)(4xfy在1,0上零点的个数为32……猜测：若1,0,21)(xxxf，记)),(()(),()(121xffxfxfxf)),(()(23xffxf…))(()(,1xffxfnn，Nn，则函数)(xfyn在1,0上零点的个数为12n。论证：因为这是一个与自然数n有关的命题，所以自然想到用数学归纳法来证明。1当1n时，结论显然成立。2假设当kn时，结论成立，即函数)(xfyk在1,0上零点的个数为12k。事实是这12k个零点在开区间)1,0(上。（说明：1)0(,,1)1())0(()0(,1)1())0(()0(,1)0(232kffffffffff，即0不是函数)(xfyk的零点；同样可得1也不是函数)(xfyk的零点。故在假设中的12k个零点在开区间)1,0(上。此处可用数学归纳法证明。）3当1kn时，研究方程0)(1xfk根的个数。将方程0)(1xfk写成0))((xffk。令)(xft，则0)(tfk。由假设可知，方程0)(tfk有12k个根，设它们是在区间)1,0(上的1221,,,kttt，亦可写成)1,0(it，12,,2,1ki。对于形如)1,0(),(iitxft的12k个方程中的每一个方程都有两个不等的根（用“动态图”模块，见图10—12），于是这12k个方程共有两两不等的k2个根。图10图11图12故方程0)(1xfk即0))((xffk共有k2个两两不等的根，即函数)(1xfyk的零点个数为k2。即当1kn时，结论亦成立。由12得证。【进一步的变式】已知1,0,21)(xxxf，记)),(()(),()(121xffxfxfxf)),(()(23xffxf…))(()(,1xffxfnn，Nn，探求方程xxfn21)(在1,0上有几个根？解析：对于2,1n，采用零点分段法，手工计算工作量还不算很大。但是从3n开始，如果采用零点分段法手工计算就开始繁琐了。于是借助于CASIOfx-CG20图形计算器的“图形”模块，仍然利用函数的迭代，就可以非常轻松、直观地得到当6,5,4,3n时，函数)(xfyn与xy21图像的交点个数，即方程xxfn21)(在1,0上根的个数。4图13图14图15图16当3n时，见图13，方程xxf21)(3在1,0上根的个数为32；当4n时，见图14（将图像局部放大，见图15中的矩形框选中区域和图16），可得方程xxf21)(4在1,0上根的个数为42；以此类推……方程xxfn21)(在1,0上根的个数为n2。2013年9月12日5