高中数学论文：圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用 沪教版

用心爱心专心圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用2003年北京高考数学卷第18（III）题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明，本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式，并由它们得到圆锥曲线的若干性质.定理1：在圆锥曲线中，过弦AB中点M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线AB于P，Q，则有MQMP.证明：如图1，以M为原点，AB所在的直线为y轴，建立直角坐标系.设圆锥曲线的方程为022FEyDxCyBxyAx(*)，设A（0，t），B（0，-t），知t，-t是02FEyCy的两个根，所以0E.若CD，EF有一条斜率不存在，则P，Q与A，B重合，结论成立.若CD，EF斜率都存在，设C（x1，k1x1）,D（x2，k1x2），E（x3，k2x3）,F（x4,k2x4），P（0，p），Q（0，q），111131132)(:xkxxxxxkxkyCE,132131111131132)()0(xxkkxxxkxxxxkxkp,同理242142)(xxkkxxq,所以)()()]()()[(13244321214321xxxxxxxxxxxxkkqp将xky1代入(*)得0)()(12211FxEkDxCkBkA,又0E得21121CkBkADxx,21121CkBkAFxx,同理22243CkBkADxx,22243CkBkAFxx，所以0qp，即MQMP.注:2003年高考数学北京卷第18（III）题，就是定理1中取圆锥曲线为椭圆，AB为平行长轴的弦的特殊情形.定理2：在圆锥曲线中，过弦AB端点的切线交于点M，过M的直线l∥AB，过M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线l于P，Q，则有MQMP.证明：如图2，以M为原点，AB所在的直线为y轴，建立直角坐标系.FEMPQDCBAyx图1用心爱心专心设圆锥曲线的方程为022FEyDxCyBxyAx(*)，设A（11,yx），B（21,yx），则切线MA的方程是02211FyExD，切线MB的方程是02221FyExD，得0)(21yyE，所以0E.（下面与定理1的证明相同，略）特别的，当弦AB垂直圆锥曲线的对称轴时，点M在圆锥曲线的该对称轴上.性质1：过点M（m，0）做椭圆、双曲线12222byax的弦CD，EF是其焦点轴，则直线CE、DF的连线交点G在直线l：max2上.特别的，当M为焦点时，l就是准线.当M为准线与焦点轴所在直线的交点时，l就是过焦点的直线.证明：如图3，过M做直线AB垂直焦点轴所在的直线，直线CE与DF交直线AB于P，Q，则根据定理1，定理2得MQMP.过G做GH垂直焦点轴所在直线于H，得FHFMHGMQHGMPHEEM，设M（m，0），H（n，0），焦点轴长为2a，则有namanama，得2amn.注:性质1就是文[1]中的性质1，文[2]中的推论2.若圆锥曲线为抛物线，把无穷远点作为其虚拟顶点，把图3中的DF看作与焦点轴平行的直线，于是得到性质2.性质2：过点M（m，0）做抛物线pxy22的弦CD，E是抛物线的顶点，直线DF与抛物线的对称轴平行，则直线CE、DF的连线交点在直线l：mx上.特别的，当M为焦点时，l就是准线.当M为准线与焦点轴的交点时，l就是过焦点的直线.注:2001年全国高考数学卷第18题，就是性质2中M为焦点的情形.性质2就是文[1]中的性质2，文[2]中的推论1.FEMPQDCBAyx图2yHGOFEMPQDCBAx图3用心爱心专心性质3：直线l：max2，过点M（m，0）做椭圆、双曲线12222byax的弦CD，直线l与CD交于点I，则DIDMCICM.证明：如图4，由定理1，定理2及性质1得：DIDMIGMQIGMPCICM.性质4：过点M（m，0）做椭圆、双曲线12222byax的弦CD、EF，则直线CE、DF的连线交点G在直线l：max2上.证明：如图5，过G做GH垂直焦点轴所在的直线，由定理1，定理2得：DIDMIGMQIGMPCICM，由性质3得，点I在直线l：max2上，所以点G在直线l：max2上.类似性质3、性质4得到性质5、性质6.性质5：直线l：mx，过点M（m，0）做抛物线pxy22的弦CD，直线l与CD交于点I，则DIDMCICM.性质6：过点M（m，0）做抛物线pxy22的弦CD、EF，则直线CE、DF的连线交点G在直线l：mx上.注:文[3]中的定理是性质4、性质6的特殊情形，即取M为焦点时，直线CE、DF的连线交点G落在相应准线上.性质7：过点M（m，0）做椭圆、双曲线12222byax的弦CD，则以C，D为切点的圆锥IyHGOFEMPQDCBAx图4图5EIyHGOFMPQDCBAx用心爱心专心曲线的切线的交点G在直线l：max2上.证明：如图6，设切线CG交直线l于G1，连接G1D，若G1D与圆锥曲线有除D点外的公共点F，做直线FM交圆锥曲线于E，由性质4知CE与DF的交点在直线l上，所以C、E、G1三点共线，与CG1是圆锥曲线的切线矛盾，所以G1D与圆锥曲线只有一个公共点D，G1D是圆锥曲线的切线，G1与G重合，G在直线l上.性质8：过点M（m，0）做抛物线pxy22的弦CD，则以C，D为切点的圆锥曲线的切线的交点G在直线l：mx上.注:性质7、性质8也是性质4、性质6的一种极端情形，就是文[4]中的定理1.性质9：直线l：max2，过点M（m，0）做椭圆、双曲线12222byax的弦CD，C、D在l上的射影为C1、D1，在焦点轴所在直线上的射影为C2、D2，则2121DDDDCCCC.证明：如图7，由性质3得：2211CCDDDICIDMCMDDCC,所以2121DDDDCCCC.性质10：直线l：mx，过点M（m，0）做抛物线pxy22的弦CD，C、D在l上的射影为C1、D1，在对称轴上的射影为C2、D2，则2121DDDDCCCC.注:性质9、10即文[5]中的定理1、2、3，文[5]中的推论也可由性质3、5直接推出.性质11：在圆锥曲线中，过弦AB中点M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交于点G，过G做GI∥AB，直线GI交FE于I，则FIFMEIEM.证明：如图8，直线CE与DF交直线AB于P，Q，yHGOFMDCx图6IyD2OFC2MC1DCD1x图7IGFEMPQDCBA图8用心爱心专心由定理1得：MQMP,所以FIFMIGMQIGMPEIEM.性质12：在圆锥曲线中，过弦AB端点的切线交于点M，过M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交于点G，过G做GI∥AB，直线GI交FE于I，则FIFMEIEM.性质11，12可认为是性质1，2，3，5的推广，从性质11，12出发可以得到类似性质4，6，7，8，9，10的结论，限于篇幅，本文不再给出。参考文献1金美琴.二次曲线的定点弦.数学通报，2003，72陈天雄.一道高考解析几何试题的引申和推广.数学通报，2002，63廖应春.圆锥曲线焦点弦的一个性质.数学通报，2003，44李笛淼.圆锥曲线的两个性质.数学通报，1999，25姜坤崇.姜男.圆锥曲线的一个有趣性质极其推论.数学通报，2003，7