高中数学课程标准

1抽象代数——理论、问题与方法西南大学数学与统计学院张广祥2教材与参考书教材张广祥:抽象代数—理论、问题与方法,科学出版社,2005课程名称:近世代数学习内容:教材前6章3学习前6章1导引(3)2数环与数域(6)3尺规作图(4)4对称与群(5)5代数方程的Galois理论(7)6从勾股定理到费马定理(7)4本教材特点以问题解决为主线避免概念化教学5问题解决第2章数环与数域:整数的平方和定理第3章尺规作图问题:尺规作图3大难题第4章对称与群:晶体分类定理第5章代数方程的Galois理论:不可解方程第6章从勾股定理到费马定理:2次代数整数环分类6问题解决第7章域上的代数:实数域上可除代数;欧拉恒等式;合成代数分类问题第8章多项式环的理想:希尔伯特基定理;代数簇不可约分解第9章理想的唯一分解性:整数唯一分解定理推广第10章希尔伯特第17问题:整函数平方和7第1章导引1.1方法与对象1.2映射与运算1.3群、环、域的定义81.1方法与对象代数学发展的4个阶段:1文字叙述阶段2简化文字阶段3符号代数阶段4结构代数阶段91.1方法与对象1文字叙述阶段主要特点:直观推理古代中国:筹算法古代希腊:几何数论10古代中国:筹算法算筹计数1234567891011古代中国:筹算法九章算术：筹算开方商(根)55225实法负2商55225实2法4负23商15225实43法129负5522512九章算术：开方术23商2325实43法负23商2325实46法负235商2325实46法负235商0实465法0负235商2325实465法2325负235商2325实465法负2355522513古代希腊:几何数论1+3+5+……+(2n-1)=n2.142简化文字阶段丢番图（Diophantus,公元250年）《算术》使用简化文字符号12345678910：平方：，（dunamis）立方：，（kubos）x3+8x-1：*x:;x3+8x:;减:;常数:*153符号代数阶段字母表示数M.Stiefel(1486-1567)1553《综合算术》使用+、-、F.Viete(1540-1603):cubusaequaliaacubus+aplano2inb+bcubus2222)(babababa163符号代数阶段符号代数的意义字母表示数：代数学不再停留在具体的数字计算，有了真正意义的数学公式、运算法则，并由此进化为现代数学符号系统、现代数学公理系统项武义：近代代数学的分界不在于“字母表示数”而是“不定元引入”174结构代数阶段结构代数：从公理系统出发研究特定的代数系统，群、环、域等抽象代数是现代数学的基础拓扑学：基本群、上同调群代数数论：理想论代数几何：代数簇18抽象代数三大基础1高次方程求根问题：Galois群，扩域2费马问题高斯方法：Kummer理想论3复数的几何解释：Hamilton四元数19思考问题1刘徽像利用乘法公式解释筹算开方法的原理20思考问题2：素数的复整数分解5=（1+2i）（1-2i）问题：通常整数（有理整数）p=a+bi在复整数中存在非平凡分解的充分必要条件注：±1，±i是复整数中仅有的非平凡因子21思考问题3：数学符号的价值和功能现代数学密切依赖于高度专业化的符号系统，数学符号系统不仅仅是简化的表达形式，也是思维的有力工具：例，蝴蝶定理的“傻瓜证法”.试用你自己的例证说明数学符号的价值和功能.22蝴蝶定理ADGOFCHBE132423蝴蝶定理蝴蝶定理“傻瓜证法”114433221SSSSSSSS241.2映射与运算映射定义；单射、满射、一一映射集合A上的2元映射称为（2元）运算25集合分类定义：非空集A上2元关系a～b，满足1自反性：a～a2对称性：若a～b则b～a3传递性：若a～b、b～c则a～c称2元关系～为等价关系等价类A（a）={x～a|x∈A}商集={A（a）|a∈A}A26集合分类等价关系，例：等于；朋友关系；模n同余：若n|a-b则记a≡b（n），称为a与b模n同余同余类：[0]，[1]，[2]，…，[n-1]27思考问题：映射的交换图已知映射：A→B满，定义：A→A，：B→A证明一一；图交换=ABA281.3群、环、域的定义群的定义整数加群（Z，+）：1.加法封闭2.加法结合3.加法交换4.有0元5.有逆元29群的定义群的定义:非空集G,存在2元运算(乘法),满足条件1.封闭律2.结合律3.单位元e4.逆元a-1称G是一个群.30群的一些简单性质1.群的单位元唯一2.每个元素的逆元唯一3.乘法不必交换,若交换则称为交换群4.若干例:有理数加群、非零有理数乘群n次单位根乘群、完全线性群GL(n,F)5.子群定义31环的定义整数环Z:全体整数两个运算,加法、乘法,满足1.Z是加群2.乘法封闭、结合、交换3.乘法对加法分配律称为整数环.32环的定义环的定义:非空集R有两个运算,加与乘,满足1.R是一个加群（交换）2.乘法封闭、结合3.左右分配律则称R是一个环.注:0元、单位元、可逆元（单位）、交换环33环的例环的若干实例：整数环、有理数环（域）、多项式环、连续函数环、全矩阵环Maxn(R)子环定义34域的定义域的定义域的若干实例:有理数域、实数域、复数域数域Q(i)、Q（）335本节思考问题汤璪真（毛泽东同学）群：定义整数集Z上“*”运算:a*b=a+b-1,证明(Z,*)是一个群.并讨论(Z,*)与整数加群之间的关系.36本节新增习题习题1证明含n个元素的集合A(称为文字集)上的全体一一映射,把复合映射作为映射的乘法,组成一个群,记这个群为Sn,称为n次对称群.习题2证明整数模5的同余类(剩余类)对于同余类的加法和乘法运算成为一个环.问这个环含几个元素?这个环是不是域?