高中文科数学一轮复习三角函数

第五章三角函数第一节角的概念的推广与弧度制A组动π3弧长1．点P从(－1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1顺时针方向运到达Q点，则Q点的坐标为________．解析：由于点P从(－1,0)出发，顺时针方向运动π3弧长到达32)．答Q点，如图，因此Q点的坐标为(cos2π3，sin2π3)，即Q(－12，案：(－12，32)2．设α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．①tanα2②sinα2③cosα2④cos2α解析：α为第四象限角，则α2为第二、四象限角，因此tanα20恒成立，应填①，其余三个符号可正可负．答案：①3．(2008年高考全国卷Ⅱ改编)若sinα0且tanα0，则α是第_______象限的角．答案：三4．函数y＝|sinx|sinx＋cosx|cosx|＋|tanx|tanx的值域为________．解析：当x为第一象限角时，sinx0，cosx0，tanx0，y＝3；当x为第二象限角时，sinx0，cosx0，tanx0，y＝－1；当x为第三象限角时，sinx0，cosx0，tanx0，y＝－1；当x为第四象限角时，sinx0，cosx0，tanx0，y＝－1.答案：{－1,3}5．(原创题)若一个α角的终边上有一点P(－4，a)，且sinα·cosα＝34，则a的值为________．解析：依题意可知α角的终边在第三象限，点P(－4，a)在其终边上且sinα·cosα＝34，易得tanα＝3或33，则a＝－43或－433.答案：－43或－4336．已知角α的终边上的一点P的坐标为(－3，y)(y≠0)，且sinα＝24y，求cosα，tanα的值．解：因为sinα＝24y＝y(－3)2＋y2，所以y2＝5，当y＝5时，cosα＝－64，tanα＝－153；当y＝－5时，cosα＝－64，tanα＝153.B组1．已知角α的终边过点P(a，|a|)，且a≠0，则sinα的值为________．解析：当a0时，点P(a，a)在第一象限，sinα＝22；当a0时，点P(a，－a)在第二象限，sinα＝22.答案：222．已知扇形的周长为6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是_____．解析：设扇形的圆心角为αrad，半径为R，则2R＋α·R＝612R2·α＝2，解得α＝1或α＝4.答案：1或43．如果一扇形的圆心角为120°，半径等于10cm，则扇形的面积为________．解析：S＝12|α|r2＝12×23π×100＝1003π(cm2)．答案：1003πcm24．若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与θ3角的终边相同的角的集合为__________．答案：{56°，176°，296°}5．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α是第________象限．解析：当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．答案：一或三6．设角α的终边经过点P(－6a，－8a)(a≠0)，则sinα－cosα的值是________．解析：∵x＝－6a，y＝－8a，∴r＝(－6a)2＋(－8a)2＝10|a|，∴sinα－cosα＝yr－xr＝－8a＋6a10|a|＝－a5|a|＝±15.答案：±157．(2010年北京东城区质检)若点A(x，y)是300°角终边上异于原点的一点，则yx的值为________．解析：yx＝tan300°＝－tan60°＝－3.答案：－38．(2010年深圳调研)已知点P(sin3π4，cos3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．解析：由sin3π40，cos3π40知角θ在第四象限，∵tanθ＝cos3π4sin3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.答案：7π49．已知角α的始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝kx上，若sinα＝25，且cosα0，则k的值为________．解析：设α终边上任一点P(x，y)，且|OP|≠0，∴y＝kx，∴r＝x2＋(kx)2＝1＋k2|x|.又sinα0，cosα0.∴x0，y0，∴r＝－1＋k2x，且k0.∴sinα＝yr＝kx－1＋k2x＝－k1＋k2，又sinα＝25.∴－k1＋k2＝25，∴k＝－2.答案：－210．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积．解：设弧长为l，弓形面积为S弓，∵α＝60°＝π3，R＝10，∴l＝103π(cm)，S弓＝S扇－S△＝12·103π·10－12·102sin60°＝50(π3－32)(cm2)．11．扇形AOB的周长为8cm.(1)若这个扇形的面积为3cm2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，(1)由题意可得2r＋l＝8，12lr＝3，解得r＝3，l＝2，或r＝1l＝6，∴α＝lr＝23或α＝lr＝6.(2)∵2r＋l＝2r＋αr＝8，∴r＝82＋α.∴S扇＝12αr2＝12α·64(2＋α)2＝32α＋4α＋4≤4，当且仅当α＝4α，即α＝2时，扇形面积取得最大值4.此时，r＝82＋2＝2(cm)，∴|AB|＝2×2sin1＝4sin1(cm)．12．(1)角α的终边上一点P(4t，－3t)(t≠0)，求2sinα＋cosα的值；(2)已知角β的终边在直线y＝3x上，用三角函数定义求sinβ的值．解：(1)根据题意，有x＝4t，y＝－3t，所以r＝(4t)2＋(－3t)2＝5|t|，①当t＞0时，r＝5t，sinα＝－35，cosα＝45，所以2sinα＋cosα＝－65＋45＝－25.②当t＜0时，r＝－5t，sinα＝－3t－5t＝35，cosα＝4t－5t＝－45，所以2sinα＋cosα＝65－45＝25.(2)设P(a，3a)(a≠0)是角β终边y＝3x上一点，若a＜0，则β是第三象限角，r＝－2a，此时sinβ＝3a－2a＝－32；若a＞0，则β是第一象限角，r＝2a，此时sinβ＝3a2a＝32.第二节正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式A组1．若cosα＝－35，α∈(π2，π)，则tanα＝________.解析：cosα＝－35，α∈(π2，π)，所以sinα＝45，∴tanα＝sinαcosα＝－43.答案：－432．(2009年高考北京卷)若sinθ＝－45，tanθ0，则cosθ＝________.解析：由sinθ＝－450，tanθ0知，θ是第三象限角，故cosθ＝－35.答案：－353．若sin(π6＋α)＝35，则cos(π3－α)＝________.解析：cos(π3－α)＝cos[π2－(π6＋α)]＝sin(π6＋α)＝35.答案：354．(2010年合肥质检)已知sinx＝2cosx，则5sinx－cosx2sinx＋cosx＝______.解析：∵sinx＝2cosx，∴tanx＝2，∴5sinx－cosx2sinx＋cosx＝5tanx－12tanx＋1＝95.答案：955．(原创题)若cos2θ＋cosθ＝0，则sin2θ＋sinθ＝________.解析：由cos2θ＋cosθ＝0，得2cos2θ－1＋cosθ＝0，所以cosθ＝－1或cosθ＝12，当cosθ＝－1时，有sinθ＝0，当cosθ＝12时，有sinθ＝±32.于是sin2θ＋sinθ＝sinθ(2cosθ＋1)＝0或3或－3.答案：0或3或－36．已知sin(π－α)cos(－8π－α)＝60169，且α∈(π4，π2)，求cosα，sinα的值．解：由题意，得2sinαcosα＝120169.①又∵sin2α＋cos2α＝1，②①＋②得：(sinα＋cosα)2＝289169，②－①得：(sinα－cosα)2＝49169.又∵α∈(π4，π2)，∴sinαcosα0，即sinα＋cosα0，sinα－cosα0，∴sinα＋cosα＝1713.③sinα－cosα＝713，④③＋④得：sinα＝1213.③－④得：cosα＝513.B组1．已知sinx＝2cosx，则sin2x＋1＝________.解析：由已知，得tanx＝2，所以sin2x＋1＝2sin2x＋cos2x＝2sin2x＋cos2xsin2x＋cos2x＝2tan2x＋1tan2x＋1＝95.答案：952．(2010年南京调研)cos10π3＝________.解析：cos10π3＝cos4π3＝－cosπ3＝－12.答案：－123．(2010年西安调研)已知sinα＝35，且α∈(π2，π)，那么sin2αcos2α的值等于________．解析：cosα＝－1－sin2α＝－45，sin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α＝2sinαcosα＝2×35－45＝－32.答案：－324．(2010年南昌质检)若tanα＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα＋cos2α＝_________________.解析：sinα＋cosαsinα－cosα＋cos2α＝sinα＋cosαsinα－cosα＋cos2αsin2α＋cos2α＝tanα＋1tanα－1＋1tan2α＋1＝165.答案：1655．(2010年苏州调研)已知tanx＝sin(x＋π2)，则sinx＝___________________.解析：∵tanx＝sin(x＋π2)＝cosx，∴sinx＝cos2x，∴sin2x＋sinx－1＝0，解得sinx＝5－12.答案：5－126．若θ∈[0，π)，且cosθ(sinθ＋cosθ)＝1，则θ＝________.解析：由cosθ(sinθ＋cosθ)＝1⇒sinθ·cosθ＝1－cos2θ＝sin2θ⇒sinθ(sinθ－cosθ)＝0⇒sinθ＝0或sinθ－cosθ＝0，又∵θ∈[0，π)，∴θ＝0或π4.答案：0或π47．已知sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)的值等于________．解析：由已知，得cos(α＋7π12)＝cos[(α＋π12)＋π2]＝－sin(α＋π12)＝－13.答案：－138．(2008年高考浙江卷改编)若cosα＋2sinα＝－5，则tanα＝________.解析：由cosα＋2sinα＝－5，①sin2α＋cos2α＝1，②将①代入②得(5sinα＋2)2＝0，∴sinα＝－255，cosα＝－55，∴tanα＝2.答案：29．已知f(α)＝sin(π－α)cos(2π－α)tan(－α＋3π2)cos(－π－α)，则f(－31π3)的值为________．解析：∵f(α)＝sinα·cosα·cotα－cosα＝－cosα，∴f(－313π)＝－cosπ3＝－12.答案：－1210．求sin(2nπ＋2π3)·cos(nπ＋4π3)(n∈Z)的值．解：(1)当n为奇数时，sin(2nπ＋2π3)·cos(nπ＋4π3)＝sin2π3·cos[(n＋1)π＋π3]＝sin(π－π3)·cosπ3＝sinπ3·cosπ3＝32×12＝34.(2)当n为偶数时，sin(2nπ＋2π3)·cos(nπ＋4π3)＝sin2π3·cos4π3＝sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝sinπ3·(－cosπ3)＝32×(－12)＝－34.11．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cosA＝－2cos(π－B)，求△ABC的三内角．解：由已知，得sinA＝2sinB，①3cosA＝2cosB，②①2＋②2得：2cos2A＝1，即cosA＝±22.(1)当cosA＝22时，cosB＝32，又A、B是三角形内角，∴A＝π4，B＝π6，