高中物理中的实际问题

高中物理中的实际问题——力学部分动量和能量是高中物理力学部分的又一重要内容。高中物理力学部分涉及了冲量、动量、动能、重力势能、弹性势能及机械能等概念，讨论了动量定理、动量守恒定律、动能定理、机械能守恒定律等规律。现实世界中涉及动量和能量的问题比比皆是。例如：跳绳、跳远、跳高、蹦极等体育活动都会涉及动量和能量问题，轮船螺旋浆的推进、喷气式飞机的飞行、宇航员的太空“行走”等反冲运动都与动量守恒定律联系在一起，水力采煤、自动称米机的讨论离不开动量守理，工农业生产、交通运输中的各类机械都涉及功率问题。振动和波是高中物理力学部分研究的最复杂的运动。做机械振动的物体，其速度的大小和方向都在做周期性变化；机械波则是机械振动在介质中的传播，是波源和介质点的群体运动。机器的震动、水面的波动、地震的测报、各种乐器的发声、声纳的应用以及医疗、生产、科研中有关图线的记录，常常与振动和波联系在一起。本文列举有关动量、机械能、机械振动、机械波的实际应用问题。一、典型例题例1（水力采煤）水力采煤就是利用从高压水枪中喷出来的强力水柱冲击煤层而使煤层碎裂。设所用水枪的直径为d，水速为v0，水的密度为ρ，水柱垂直地冲击到竖直煤壁上后沿竖直煤壁流下，求水柱施于煤层上的冲力大小。解析取△t时间内射到煤层的水为研究对象，设这部分水的质量为△m，以S表示水柱的截面积。则△m=ρSv0△t=ρ··v0△t。这部分水经时间△t，其水平方向的动量由△mv0变为零，设水受到煤层的反作用力为F，以水喷出的方向为正方向，根据动量定理，有F△t=0-△mv0,故F=-=-。根据牛顿第三定律，水柱对煤层的作用力为F’=-F=。评注连续流体在短时间内动量发生变化，将会产生强大的作用力，水力采煤便是流体强大作用力的应用实例。连续流体系统在一定时间△t内动量发生变化的仅是质量为△m的部分流体。解决这类问题时，我们通常以△m为研究对象，应用动量定理求解，对△m的正确表达是解决这类问题的关键，当然，这类问题也可对质量为△m的流体应用匀变速运动公式和牛顿运动定律求解。例2（自动称米机）如图1所示，利用自动称米机称米，买者认为：因为米落到容器中时有向下的冲力，造成读数偏大，因而不划算；卖者认为：当读数满足需求时，自动装置立即切断米流，尚有一些米在空中，这些米是多给买者的。自动称米机究竟准不准？请说说你的看法。解析设自动称米机的米流量为，切断米流时台秤中已有米的质量为M’，这时米的出口处离容器中最高处米的高度为h，米的下落时间为t，则t=。当切断米流时，米的质量包括三部分：一部分是台秤中已有米的质量M’，另一部分是即将落到米堆上的一小部分米的质量△m，还有一部分是尚在空气中的米的质量m’，因m’=·t=·，故米的总质量为M米=M’+△m+m’=M’+△m+，这时，台秤上米的质量示数则包括两部分：一部分是台秤中已有米的质量M’，另一部分是米流对台秤产生的冲力F引起的附加质量，以△t时间内落到称米机上的一小部分质量为△m的米为研究对象，由动量定理，有（F-△m·g）△t=△mv，且v=,可得F=△mg+,=△m+。从而，台秤上米的质量示数M示=M’+=M’+△m+。由于M示=M米，故自动称米机所称米的质量是准确的，不存在或多或少的问题。评注自动称米机称量是否准确，这是一个很现实的问题。应用动量定理，经过定量计算，可见题中买者和卖者的说法都是错误的。本题的分析，对研究对象的选取和物理模拟的建立，都有较高的要求。例3（宇航员的太空“行走”）一个连同装备总质量M=100kg的宇航员，在距离飞船s=45m处相对于飞船处于静止状态。宇航员背着装有质量为m0=0.5kg的氧气贮气筒，筒上有可以使氧气以v=50m/s的速度喷出的喷嘴，宇航员必须向着返回飞船的相反方向放出氧气，才能回到飞船，同时又必须保留一部分氧气供途中呼吸用，宇航员的耗氧率为Q=2.5×10-4kg/s.求：（1）瞬时喷出多少氧气，宇航员才能完全返回飞船？（2）为了使总耗氧量最低，应一次喷出多少氧气？返回时间又是多少？解析（1）设瞬时喷出质量m的氧气，宇航员才能安全返回飞船，由动量守恒，有mv=（M-m）v1,式中v1为喷出氧气后宇航员返回飞船时的速度大小。宇航员返回飞船的时间t=,又安全返回需要m0≥m+Qt,由以上三式，得m0≥m+,考虑到mM,M-m≈M,故有m2-m0m+≤0,解得≤m≤。代入数据得0.05kg≤m≤0.45kg.（2）由mv=（M-m）v1和t=可得t=≈,可见，总耗氧量△m=m+Qt=m+,所以当m=,即m==kg=0.15kg,总耗氧量△m最小。在此情况下，返回时间为t==s=600s。评注本题描述了宇航员太空“行走”的情况——宇航员通过向相反方向喷气，利用喷出气体的反冲作用，才能朝前运动，需要指出的是，一般飞船沿椭圆轨道运动，飞船不是惯性参照系，但是，在一段很短的圆弧上，可以视为飞船做匀速直线运动，是惯性参照系，本题就是将飞船按惯性参照系处理的，本题应用了动量守恒定律，解答时须解不等式和求极值，主要训练学生根据实际问题建立物理模型的能力，应用数学知识解决物理问题的能力。例4（向水箱注水）如图2所示，圆柱形的水箱高为5m，容积为50m3，水箱底部接通水管A，顶部接通水管B，开始时箱中无水，若仅使用A管或仅使用B管慢慢地将水注入，直到箱中水满为止，试计算两种情况下外界各需做多少功。（设需注入的水开始时均与箱底等高）解析注水的过程中外力克服水的重力做功，增加了水的重力势能，由于是缓慢地注水，水的动能的增加可忽略不计，所以外力做功数值上等于水增加的重力势能。若从底部A管注水，整箱水的重心被升高（H为水箱的高度），外界做功WA=mgh1=ρVg=1.225×106J。若从顶部B管注水，整箱水应先升高到箱的顶部，重心被升高H，故外界做功WB=mgh2=2mgh1=2WA=2.45×106J。评注本题是非常实用的例子，为了节省能量，我们应该采用从下方注水的方法，有些同学认为两种注水方式最终水的重心升高高度是一样的，从而得出两者做功相同的结论。其错误在于只注意到了前后两个平衡状态，而没有考虑中间过程的差异。例5（摩托车腾跃特技表演）如图3所示，摩托车做腾跃特技表演，以v0=10m/s的初速度冲上顶部水平的高台，然后从高台水平飞出。若摩托车冲上高台时以额定功率1.8kW行驶，所经时间为0.5s，人和车的总质量为180kg，试分析：当台高h多大时，人和车飞出的水平距离s最远？此最远距离是多少？（不计一切阻力，g取10m/s2）解析设摩托车从高台飞出的水平速度为v，由功能关系，有mv02+Pt=mgh+mv2,摩托车飞离高台后做平抛运动，有h=gt'2，s=vt’,（式中t’为摩托车做平抛运动的时间）由以上三式，可得s===。所以，当2h=11-2h，即h=2.75m时，s有最大值，且此最大值为sm==5.5m。评注由s=vt’可知，摩托车飞出的水平距离s不仅与摩托车从高台飞出的水平速度v有关，还与摩托车做平抛运动的时间t’有关。若高台高度h越大，则v越小而t’越长；反之，若h越小，则v越大而t’越短。可见，必有一个确定的h值，能使乘积vt’最大，即使s最远。本题主要应用了功能原理和平抛运动公式，极值问题的分析也是求解本题的难点之一。例6（空中列车的空全行驶）如图4所示，空中列车由许多节长度很短的相同车厢连接而成，总长度为l。列车从高处的平台上由静止起沿光滑的轨道经斜面滑下，全部进入水平轨道后，经过一半径为R的固定在竖直平面内的光滑圆环轨道（l＞2πR）。欲使列车能安全驶过圆环轨道，平台离水平轨道的高度H至少多大？（空中列车无动力，且不计各处的阻力）解析列车从高处平台经斜面滑至水平轨道后，重力势能转化为动能，速度达到最大。此后，列车逐节进入圆环轨道，势能逐渐增大，动能逐渐减小，速度逐渐减小。至列车覆盖整个圆轨道时，速度减至最小。此速度若不小于列车通过最高点应具有的临界速度，则列车不致脱轨。现设列车总质量为M，临界速度为v，由机械能守恒，有MgH=Mv2+gR。取正通过轨道顶点的一小段车厢，考虑临界状态（此时轨道对车厢无压力），其受力情况如图5所示。图中，T为两边车厢的拉力，mg为重力，它们的合力产生向心加速度，有2Tsin+g=,式中△α为在最高点的一节车厢所对的圆心角。考虑到△α很小，sin=≈,则有T+Mg=。设想以力T使未越过最高点的各节车厢移动一小段距离△x，有T△x=g·2R，即T=g。从而，可得平台离水平轨道的高度H的最小值为Hmin=。评注本题是机械能守恒定律和圆周运动向心力公式的综合应用，求解过程中对临界速度v和拉力T的求解至关重要，不能忽视T的作用而错误地认为v=。例7（奔跑中的体能消耗）奔跑中人体拮抗肌所做的功是随着每迈一步对腿的加速和减速完成的。腿离开地面时，腿从静止直到接近等于身体的速度，拮抗肌做了一定量的功，在腿又回到静止的过程中，拮抗肌又做了相当的功。现有一个以3m/s的速度奔跑的质量为70kg的人，他每条腿的质量约为10kg，其步子的长度（同一只脚的两个相邻足迹之间的距离）为2m，求此人奔跑过程中的能量消耗率。（肌肉的效率约为0.25）解析腿从静止直到接近等于身体的速度，腿部肌肉做的功等于腿的动能的变化，即W1=mv2。腿又回到静止的过程中，肌肉又做了相当的功，W2=W1。所以，每迈一步的过程中，肌肉对每条腿共做功为W=W1+W2=2W1=mv2=10×32=90J。因为人的速度v=3m/s，其步子的长度为2m，所以此人每秒钟迈出1.5步，从而，人体肌肉对两条腿输出的功率为P==270W。由于肌肉的效率约为0.25，故此人奔跑过程中能量消耗率为R==W=1080W。评注本题仅涉及功和功率的计算，应用的物理知识并不复杂，但需要对奔跑过程做仔细分析，建立起必要的物理模型，弄清每迈一步人体两腿肌肉的做功情况，人体在运动过程中消耗葡萄糖等营养物质，将部分能量转移到ATP，肌肉收缩消耗的能量就是由ATP直接提供的。因而，此类问题还可与生物学知识联系在一起。本题人体质量70kg为多余条件，对于实际问题，常常需要对题给条件作出必要的取舍，避免多余条件的干扰。例8（洗衣机断电后的振动）洗衣机脱水缸正常工作时，转速为2800r/min，脱水后由切断电源到电动机停止转动的时间为16s。实际发现13s左右时，洗衣机振动最为剧烈，若切断电源后转速是随时间均匀减小的，则洗衣机振动的固有频率大约是多少？解析洗衣机切断电源后脱水缸转速随时间均匀减小，至13s时的转速为n’=×(16-13)=×(16-13)=8.75r/s。可见，此时洗衣机做受迫振动的驱动力的频率f驱=8.75Hz。由共振条件可知，洗衣机的固有频率为f固=f驱=8.75Hz评注洗衣机脱水电机的转动给洗衣机提供了驱动力，使洗衣机做变速振动，当切断电源13s左右时，洗衣机振动最为剧烈，即发生共振，此时驱动力的频率即等于洗衣机的固有频率。例9（地震仪水平摆的周期）如图6所示是一种记录地震装置的水平摆，摆球固定在边长为l、质量可忽略不计的等边三角形的顶点A上，它的对边BC跟竖直线成不大的夹角α，摆球可绕固定轴BC摆动，求摆球微小摆动时的周期。解析如图7所示，过A作BC的垂线，交BC于O，OA即为等效单摆的摆长，其长度为l’=lsin60°=l。摆球在平衡位置时，把摆球的重力G分解为与BC平行的分力G1和与BC垂直的分力G2，G2=Gsinα，等效重力加速度g’===gsinα。因而，摆球做微小振动的周期为T=2π=2π。评注在求等效单摆的周期时，一般可通过找出等效摆长和等效重力加速度，借用单摆周期公式求出。本题也可这样求解：在摆球处于平衡位置时，过A点作一铅垂线，与CB的延长线交于D，如图8所示。DA即为等效单摆的摆长，其长度为l'’=·sin60°=。因而，摆球做微小振动的周期为T=2π=2π。例10（高速公路上的超声波测速仪，2001年高考上海物理题）图9（a）是在高速公路上用超声波测速仪测量车速的示意图，测速仪器发出并接收超声波脉冲信号，根据发出和接收到的信号