高二数学竞赛试题

1高二数学竞赛试题（考试时间90分钟，满分120分，命题人：黄盛华）班级________姓名_____________得分________________一、选择题（本大题有8小题，每小题5分,共40分）1．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是（）A．1B．2C．4D．82．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是()A．12,24,15,9B．9,12,12,7C．8,15,12,5D．8,16,10,63．已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于()A．4B．5C．7D．84．先后抛掷两枚均匀的骰子(骰子是一种正方体玩具，在正方体各面上分别有点数1,2,3,4,5,6)，骰子落地后朝上的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为()A.16B.536C.112D.125.如图给出的是计算1＋13＋15＋…＋129的值的一个程序框图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句是()A．n＝n＋2，i＝15?B．n＝n＋2，i15?C．n＝n＋1，i＝15?D．n＝n＋1，i15?6．双曲线x26－y23＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r＝（）A.3B．2C．3D．67．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在[50,60)的汽车大约有()A．30辆B．40辆C．60辆D．80辆8．F1，F2是椭圆x22＋y2＝1的左右两个焦点，过F2作倾斜角为π4的2弦AB，则△F1AB的面积为()A.43B.233C.433D.423－1二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）9．如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为________平方米．10．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．11．“a2”是“方程x2a＋1＋y22－a＝1表示双曲线”的________条件(填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”)．12.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．三解答题（本大题共5小题，共60分）13.（本小题满分12分）随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图：(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．14．（本小题满分12分）3已知集合A＝{y|y＝x2－32x＋1，x∈[34，2]}，B＝{x|x＋m2≥1}；命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．15．（本小题满分12分）已知点A(0，－2)，B(0,4)，动点P(x，y)满足PA·PB＝y2－8.(1)求动点P的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹方程与直线y＝x＋2交于C，D两点，求证：OC⊥OD(O为原点)．16.（本小题满分12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.4(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．17.（本小题满分12分）设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求E的离心率；(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程．高二数学限时训练（4）5参考答案一选择题：题号12345678答案CDDCBACA2.解析：抽样比为40800＝120，因此，从各层依次抽取的人数为160×120＝8,320×120＝16,200×120＝10,120×120＝6.3.解析：由题意：焦距为4，则有m－2－(10－m)＝422，解得m＝8.4.解析：抛掷2枚骰子，共有6×6＝36种情况，因为log2xy＝1，所以y＝2x，此时满足题意的数对(x，y)共有(1,2)、(2,4)、(3,6)三种情况，所以概率P＝336＝112.5.解析：1＋13＋15＋…＋129是连续奇数的前15项倒数之和，所以n＝n＋2，即执行框中的①处应填n＝n＋2；根据程序框图可知，循环一次后s＝1，i＝2，循环两次后s＝1＋13，i＝3，所以求s＝1＋13＋15＋…＋129需要循环15次，i＝16时，跳出循环，所以判断框中的②处应填i15.6.解析：由圆心到渐近线的距离等于r，可求得r＝3.7.解析：面积为频率，在[50,60)的频率为0.3，所以大约有200×0.3＝60辆．8.解析：过F2倾斜角为π4的直线为l：y＝x－1.设A(x1，y1),B(x2，y2)则y1，y2是方程3y2＋2y－1＝0的两根．S△FAB＝12|F1F2|·|y1－y2|＝49＋43＝43.二填空题：9.【答案】8310.【答案】2311.解析：a2⇒x2a＋1＋y22－a＝1表示双曲线；反过来，x2a＋1＋y22－a＝1表示双曲线，则(a＋1)(2－a)0，即a2或a－1.6答案：充分不必要12.解析：由题意有2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，∴e＝35或e＝－1(舍去)．答案：35三解答题：13.解：(1)乙班的平均身高较高(可由茎叶图判断或计算得出)．(2)因为甲班的平均身高为x＝110i＝110xi＝170(cm)，所以甲班的样本方差s2＝110i＝110(xi－x)2＝110[2×122＋2×92＋2×22＋12＋72＋82＋02]＝57.2.(3)从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，共有10种不同的取法：(173,176)，(173,178)，(173,179)，(173,181)，(176,178)，(176,179)，(176,181)，(178,179)，(178,181)，(179,181)．设A表示随机事件“抽到身高为176cm的同学”，则A中的基本事件有四个：(173,176)，(176,178)，(176,179)，(176,181)．故所求概率为P(A)＝410＝25.14.解：化简集合A，由y＝x2－32x＋1＝(x－34)2＋716，∵x∈[34，2]，∴ymin＝716，ymax＝2.∴y∈[716，2]，∴A＝{y|716≤y≤2}．化简集合B，由x＋m2≥1，∴x≥1－m2，B＝{x|x≥1－m2}．∵命题p是命题q的充分条件，∴A⊆B.7∴1－m2≤716，∴m≥34或m≤－34.∴实数m的取值范围是(－∞，－34]∪[34，＋∞)．15.解：(1)由题意可得PA·PB＝(－x，－2－y)·(－x,4－y)＝y2－8，化简得x2＝2y.(2)证明：将y＝x＋2代入x2＝2y中，得x2＝2(x＋2)．整理得x2－2x－4＝0，可知△＝4＋16＝200，x1＋x2＝2，x1x2＝－4.∵y1＝x1＋2，y2＝x2＋2，∴y1·y2＝(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝4.∴kOC·kOD＝y1x1·y2x2＝y1y2x1x2＝－1，∴OC⊥OD.16.解析：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个．因此所求事件的概率P＝26＝13.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n≥m＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝316.故满足条件n＜m＋2的事件的概率为1－P1＝1－316＝1316.17.解：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝43a.l的方程为y＝x＋c,其中c＝a2－b2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组8y＝x＋c，x2a2＋y2b2＝1.化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，则x1＋x2＝－2a2ca2＋b2，x1x2＝a2c2－b2a2＋b2.因为直线AB斜率为1，所以|AB|＝2|x2－x1|＝2[x1＋x22－4x1x2].得43a＝4ab2a2＋b2，故a2＝2b2，所以E的离心率e＝ca＝a2－b2a＝22.(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0＝x1＋x22＝－a2ca2＋b2＝－23c，y0＝x0＋c＝c3.由|PA|＝|PB|得kPN＝－1.即y0＋1x0＝－1，得c＝3，从而a＝32，b＝3.故椭圆E的方程为x218＋y29＝1.