高中物理竞赛讲义微积分初步

物理竞赛讲义·南丰一中彭定辉编写1tv高中物理竞赛讲义——微积分初步一：引入【例】问均匀带电的立方体角上一点的电势是中心的几倍。分析：①根据对称性，可知立方体的八个角点电势相等；将原立方体等分为八个等大的小立方体,原立方体的中心正位于八个小立方体角点位置；而根据电势叠加原理，其电势即为八个小立方体角点位置的电势之和，即U1=8U2；②立方体角点的电势与什么有关呢?电荷密度ρ；二立方体的边长a；三立方体的形状；根据点电荷的电势公式U=KQr及量纲知识，可猜想边长为a的立方体角点电势为U=CKQa=Ckρa2；其中C为常数，只与形状（立方体）及位置（角点）有关，Q是总电量，ρ是电荷密度；其中Q=ρa3③大立方体的角点电势：U0=Ckρa2；小立方体的角点电势：U2=Ckρ（a2）2=CKρa24大立方体的中心点电势：U1=8U2=2Ckρa2；即U0=12U1【小结】我们发现，对于一个物理问题，其所求的物理量总是与其他已知物理量相关联，或者用数学语言来说，所求的物理量就是其他物理量（或者说是变量）的函数。如果我们能够把这个函数关系写出来，或者将其函数图像画出来，那么定量或定性地理解物理量的变化情况，帮助我们解决物理问题。二：导数㈠物理量的变化率我们经常对物理量函数关系的图像处理，比如v-t图像，求其斜率可以得出加速度a，求其面积可以得出位移s，而斜率和面积是几何意义上的微积分。我们知道，过v-t图像中某个点作出切线，其斜率即a=△v△t.下面我们从代数上考察物理量的变化率：【例】若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为上s=3t+2t2,试求其t时刻的速度的表达式。（所有物理量都用国际制单位，以下同）分析：我们知道，公式v=△s△t一般是求△t时间内的平均速度，当△t取很小很小，才可近似处理成瞬时速度。s(t)=3t+2t2s(t+△t)=3(t+△t)+2(t+△t)2物理竞赛讲义·南丰一中彭定辉编写2△s=s(t+△t)-s(t)=3(t+△t)+2(t+△t)2-3t-2t2=3△t+4t△t+2△t2v=△s△t=3△t+4t△t+2△t2△t=3+4t+2△t当△t取很小，小到跟3+4t相比忽略不计时，v=3+4t即为t时刻的瞬时速度。【练】假设一个闭合线圈匝数为100匝，其磁通量为φ=3t+4t3,求感应电动势随时间t的函数关系。【小结】回顾我们求物理量y=f(t)的变化率瞬时值z的步骤：①写出t时刻y0=f(t)的函数表达式；②写出t+△t时刻y1=f(t+△t)的函数表达式；③求出△y=y1-y0=f(t+△t)-f(t)；④求出z=△y△t=f(t+△t)-f(t)△t；⑤注意△t取很小，小到与有限值相比可以忽略不计。㈡无穷小当△t取很小时，可以用V=△s△t求瞬时速度，也可用i=△Q△t求瞬时电流,用ε=N△φ△t求瞬时感应电动势。下面，我们来理解△t：△t是很小的不为零的正数，它小到什么程度呢？可以说，对于我们任意给定一个不为零的正数ε，都比△t大，即：ε△t。或者从动态的角度来看，给定一段时间t，我们进行如下操作：第一次，我们把时间段平均分为2段，每段时间△t=t2；第二次，我们把时间段平均分为3段，每段时间△t=t3；第三次，我们把时间段平均分为4段，每段时间△t=t4；…………第N次，我们把时间段平均分为N+1段，每段时间△t=tN+1；…………一直这样进行下去，我们知道，△t越来越小，虽然它不为零，但永远逼近零，我们称它为无穷小，记为△t→0。或者，用数学形式表示为0limt△t=0。其中“0limt”表示极限，意思是△t的极限值为0。常规计算：①0limt（△t+C）=C②0limtC·△t=0③0limtf(△t)=f(0)④0limtf(t+△t)=f(t)⑤0limtsin(△t)△t=1『附录』常用等价无穷小关系（0x）物理竞赛讲义·南丰一中彭定辉编写3①sinxx；②tanxx；③211cos2xx；④ln1xx；⑤1xex㈢导数前面我们用了极限“0limt”的表示方法，那么物理量y的变化率的瞬时值z可以写成:z=0limt△y△t,并简记为z=dydt,称为物理量y函数对时间变量t的导数。物理上经常用某物理量的变化率来定义或求解另一物理量，如v=dxdt、a=dvdt、i=dqdt、ε=NdФdt等，甚至不限于对时间求导，如F=dWFdx、Ex=dUdx、ρ=dmdl等。这个dt（也可以是dx、dv、dm等）其实相当于微元法中的时间微元△t，当然每次这样用0limt来求物理量变化率的瞬时值太繁琐了，毕竟微元法只是草创时期的微积分。如果能把常见导数计算的基本规律弄懂，那么我们可以简单快速地求解物理量变化率的瞬时值（导数）了。同学们可以课后推导以下公式：⑴导数的四则运算①d(u±v)dt=dudt±dvdt③d(uv)dt=dudt·v-u·dvdtuvv2②d(u·v)dt=dudt·v+u·dvdtuv⑵常见函数的导数①dCdt=0(C为常数)；④dcostdt=-sint；②dtndt=ntn-1(n为实数)；⑤detdt=et；③dsintdt=cost；⑶复合函数的导数在数学上，把u=u(v(t))称为复合函数，即以函数v(t)为u(x)的自变量。du(v(t))dt=du(v(t))dv(t)·dv(t)dt复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数——称为链式法则。【练】1、某弹簧振子在X轴上做直线运动，其位移x与时间t的关系为x=Asinωt，即，质点在坐标原点附近往复运动，最大位移为A（A称为振幅），周期物理竞赛讲义·南丰一中彭定辉编写4PQθQ0→Q1q为2πω（ω称为角频率），物理上把这种运动叫简谐运动。请完成以下几问：①求出t时刻的速度v②写出合力F与位移x的关系③验证简谐运动中质点的机械能守恒。【练】2、某矩形线框面积为S，匝数为N，处于磁感应强度为B的匀强磁场中，如图所示，线框绕PQ轴以角速度ω匀速转动，从水平位置开始计时，在t时刻：①写出磁通量Ф的表达式②求出线框产生的感应电动势ε(计算完后自行与《阳光课堂》P40【点拨】部分对照)三：微分和积分㈠简单问题【例】电容器是一种存储电荷的元件，它的基本工作方式为充电和放电，我们先考察电容器放电时的情况。某电容为C的电容器，其已充电的电量为Q0，若让该电容与另一个阻值为R的的电阻串联起来，该电容器将会放电，其释放的电能转化电阻的焦耳热（内能）。试讨论，放电时流过电阻R的电流随时间t的变化关系如何？分析：①根据电荷守恒定律，当通过电阻R的电量为q时，电容器的电量从Q0变成Q1，满足Q0=Q1+q，即q=Q0-Q1；②流过电阻R的电流i与通过电阻R的电量q满足关系式：i=dqdt③根据电容电量公式Q=CU,有Q1=CU=CRi，那么q=Q0-CRi；④联立上式，有i=dqdt=d(Q0-CRi)dt=-CRdidt⑤进行公式变形，令x=-tCR,则有i=-CRdidt=didx同学们思考一下，i应该是什么函数，才能满足i=didx？，或者说什么函数的导数等于函数本身？我们观察到，只有y=Cex形式的函数才满足i=didx关系，C为待定常数。故可以知道，i=Cex=Ce-t/CR当t=0时，U0=Q0C，i0=U0R=Q0CR；而把t=0代人，得i=Ce-t/CR=C；故C=Q0CR所以，流过电阻R的电流随时间t的变化关系为：i=Q0CRe-t/CR【练】对于上例电容器放电问题，试讨论，放电时电容器的电量Q随时间t的物理竞赛讲义·南丰一中彭定辉编写5变化关系如何？㈡微分1、从上面式子可以看出，理论上虽然我们说是要经过无穷长的时间电容才放完电，电流为零，但实际上只需要电流减少足够小时，电流计就检测不到有电流了。2、对于i=-CRdidt或i=didx，我们称之为微分方程，最直观的解决方法是观察有哪些函数满足该微分方程的函数关系，当然，我们要注意比如上题中的t=0之类的初始条件。3、一般来说，微积分可以帮助同学们深刻理解物理概念和公式，但微元法可以帮助同学们更细致地明了物理过程。下面我们用微元法的方式来处理这个问题。在△t的时间内，通过电阻R的电量为△q。虽然电流随时间发生变化，但在很短的时间△t内，可以认为电流几乎不变，当成恒定电流处理，故有△q=i△t。对电容有Q=CU=CiR，△Q=ＣＲ△i；由电量守恒，△Q=－△q，故－i△t＝ＣＲ△i，然后把“△”形式改写成微积分语言的“d”形式，就有－idt＝ＣＲdi（dt和di称之为微分）,数学变形为i=-CRdidt，即以上解法中的微分方程。微分与导数有什么关系呢？对某自变量为时间t的函数F(t)，它的极其微小的变化，我们记它为微分dF，它与时间微分dt满足关系式：dF=dFdtdt，其中dFdt为F对t的导数。下面是常见的微分公式与微分运算法则：①0dc②1nndxnxdx③sincosdxxdx④cossindxxdx⑤xxdeedx⑥duvdudv⑦dcucdu⑧duvvduudv⑨2uvduudvdvv㈢积分在上例问题中，在△t的时间内，通过电阻R的电量为△q=i△t，△q称为电量微元。如果我们把0到t时间内的△q加起来，用求和符号“∑”表示，则有：q=∑i△t。由于t=N△t,当△t取无穷小时，那么i△t就有N→∞个，也就是，我们要把无穷个i△t进行相加操作，为了方便，我们用微积分符号idt表示q=0limt∑i△t=idt，称为对i在时间上求积分。我们来看一下这么做有什么意义：物理竞赛讲义·南丰一中彭定辉编写6①从几何上看，对于i-t图像，q=0limt∑i△t=idt就是图像中的面积。对于恒定电流，很简单，△q=i△t，即小块矩形面积；对于变化的电流，用△q=i△t来计算，发现有一小块近似三角形面积的误差，不过当我们取当△t取无穷小时，用极限处理后，该误差会无穷逼近零，可以忽略不计，那么计算的面积就无限精确接近实际面积了。②前面我们求导用了i=dqdt，积分用了q=idt。可以看出，从某种程度上说，积分实际是求导的逆运算，比如：q=Q0-Q=Q0(1-e-t/CR),i=Q0CRe-t/CR满足求导和积分的运算关系i=dqdt、q=idt。对于一般函数F，如果有f=dFdt，那么就有fdt=F+C。请思考，为什么积分中会出现常数C？下面是常见的积分公式，请同学们对照求导公式理解：①kdxkxc②11nnxxdxcn③cossinxdxxcf④sincosxdxxc⑤xxedxec现在我们用微积分书写方式来来解答上题。由Q0=Q+q；Q=Q0-q；则dQ=-dq=-idt=-URdt=-QCRdt；即dQQ=-1CRdt；对等号两边积分：1dQQ=1CRdt；有lnQ=-tCRC`，或者Q=Ce-t/CR；当t=0时，Q(0)=C=Q0；所以电容器电量为Q=Q0e-t/CR。怎么来求1dQQ呢？我们知道detdt=et，令F(t)=et，有t=lnF；则有dFdt=F，即dFF=dt=d(lnF)；那么1dQQ=d(lnQ)=lnQ+C。1CRdt=？请同学们自己推导。物理竞赛讲义·南丰一中彭定辉编写7㈣定积分【例】某质点在X轴上做直线运动，其速度v满足函数关系v=3t2,求从t=1s到t=3s时间内质点发生的位移。分析：在dt时间内，质点可以认为做匀速直线运动，即ds=vdt,那么对等号两边积分，有23dsvdttdt，则有：s=t3+C；现在有问题了：当t=0时，S(0)等于多少我们不知道！而且已知条件中的时间“从t=1s到t=3s”也没有用上！下面我们从物理上考察C这个常数的意义。t=0时，s(0)=C。当我们令C=0时，相当于质点在零时刻从坐标原点开始运动；当我们令C=1时，相当于质点