高数和现代知识点大全

【高等数学】记住特殊函数xsinx、xsin（1/x）第一章函数极限连续1.函数的基本性质a)奇偶b)周期c)有限2.判定闭区间函数有界的方法a)连续函数有界b)在闭区间存在两最值的函数有界c)有界函数和、积有界3.函数极限的求法a)初等化简（分子分母同乘、提公因式）b)直接计算出不为零的因式c)等价无穷小d)罗比达法则e)佩亚诺余项泰勒公式f)夹逼定理g)重要极限h)导数定义4.数列极限的求法a)单调有界定理（判定单调时相减或相除）b)夹逼定理c)积分和式求极限d)数列极限存在的充要条件（奇偶子列极限存在且相等）e)柯西收敛准则5.零点问题的求法a)连续函数：零点定理和介值定理、超越方程的对数变形和对数方程的指数变形b)导函数：导函数零点数定理c)复合函数：构造法+微分方程法、罗尔定理d)定积分与变限积分：i.化成变限积分看成变限积分的函数，用微分学中的办法处理ii.利用积分中值定理6.闭区间函数最值的求法a)求出闭区间内一切驻点和不可导点的函数值b)求出边界上的最值，两者比较7.渐近线的种类a)水平/斜b)铅直8.不等式的证明a)单调性方法b)最值的方法c)用中值定理（拉格朗日、柯西）d)用拉格朗日余项的泰勒公式9.第三章一元函数积分学1、两类反常积分的识别和计算a)奇点在区间端点（比较容易识别）b)奇点在区间内部（易被忽略！！）2、定积分在物理上的应用a)建立坐标系b)根据公式建立所求量的微元（关键）c)确定上下限d)计算定积分3、积分不等式的证明a)将一边视为变限积分b)用积分不等式（被积函数比较）c)一边有积分号一边没有的化归到一样d)不同区间的化归同一区间第五章多元函数微分学1.求二重极限的方法a)夹逼定理b)等价无穷小代换c)简化分母（比如x^2+y^2-x^2等）2.讨论二元函数的可微性a)利用可微的定义b)可微的必要条件（必可导）c)可微的充分条件（一阶导连续）3.由一个方程确定的隐函数的偏导数a)利用隐函数的求导公式b)对方程两端求导解出偏导数（方程组）c)对函数两端求微分（方程组）4.极值a)无条件极值i.极值点一定是驻点，驻点不一定是极值点ii.二元函数取极值的充分条件（A、B、C）b)条件极值i.拉格朗日乘子法（可用于多约束条件）c)闭区域二元函数的最值问题i.区域内是无条件极值问题ii.边界上是条件极值问题第六章多元函数积分学1.二重积分的计算a)画出积分域，观察是否有对称性，并观察被积函数是否存在奇偶性，利用其化简b)选择坐标系c)选择积分次序d)确定积分限并计算2.类次积分交换积分顺序a)确定积分区域并画出草图b)结合图像改变积分次序，确定积分域3.累次积分的计算a)直接计算不方便则改变积分顺序b)任然不行则换坐标系4.计算三重积分a)考察对称性和奇偶性，化简b)选择合适坐标系c)化为累次积分计算5.（二维）对弧长的曲线积分a)利用公式直接计算i.参数方程ii.直角坐标系iii.极坐标系b)利用曲线关于坐标轴的对称性和被积函数的奇偶性c)利用曲线关于y=x的对称性6.（二维）对坐标的线积分a)利用参数方程化为一元积分直接计算b)用格林公式（一定要满足公式适用的条件）c)补用格林公式（补的路径也要满足公式适用条件）d)利用线积分与路径无关7.（三维）曲线积分a)弧长：参数方程直接计算b)坐标：斯托克斯公式化为面积分8.对dS的曲面积分（求面质量，无方向）a)Z=z(x,y)，𝐝𝐒=√(𝟏+𝐳′𝟐+𝐳′𝟐)𝐝𝐱𝐝𝐲，转化到平面积分，积分域为S在xOy面上的投影（这是最基本的方法）b)利用积分曲面的对称性和被积函数的奇偶性c)利用曲面方程中变量的交换不变性9.对dxdy/dydz/dzdx的曲面积分（求流量，有方向）a)若仅求dxdy或其他上的积分，则被积函数中的z用z(x,y)表示，直接转化为平面积分，积分域为曲面在xOy面上的投影（这是常见的情况）b)一般第二种情况都转化到利（补）用高斯公式上来（注意高斯公式适用条件，区域内一阶导连续）（这也是常见情况）c)利用公式将第二类曲面积分转换为对dS的曲面积分，𝐝𝐲𝐝𝐳=𝐜𝐨𝐬𝛂∗𝐝𝐒,𝐝𝐳𝐝𝐱=𝐜𝐨𝐬𝛃∗𝐝𝐒,𝐝𝐱𝐝𝐲=𝐜𝐨𝐬𝛄∗𝐝𝐒d)转换到对dS后，再转换到对dxdy的平面积分；或者直接利用公式将对dxdy,dydz和dzdx的曲面积分，转化到只在dxdy上的平面积分第七章无穷级数1.常数项级数敛散性a)正项级数敛散性判别i.比较法（p级数、等比级数）ii.比较法极限形式iii.比值法iv.根植法v.基本定理：级数收敛等价于部分和数列有界vi.利用性质：1.收敛级数加括号仍收敛，级数加括号后发散原级数定发散2.收敛必要条件：一般项趋于零b)交错级数i.莱布尼兹判别法c)任意项级数i.绝对收敛的级数一定收敛ii.条件收敛的级数的所有正项或负向构成的级数发散iii.利用判定数列（有限和数列）极限存在方法1.夹逼定理；2.单调有界原理；3.奇数列、偶数列是否相等；2.幂级数求和函数和收敛区间a)收敛半径的求法i.直接法1.比值法2.根值法ii.间接法（用马克劳林公式）b)考察收敛区间端点级数敛散性i.化归常数项级数敛散性判定3.傅里叶级数第八章微分方程【线性代数】第五章特征值和特征向量1.求数值矩阵的特征值和特征向量2.求抽象矩阵的特征值和特征向量3.特征值和特征向量的逆问题4.证明两个矩阵有相同的特征值a)证明有相同的特征方程即可5.相似的判定a)特征值相同（行列式、迹）b)特征方程相等6.方阵对角化的判定a)有n个线性无关的特征向量i.有n个不同特征值ii.或者特征值的重数和对应的线性无关的特征向量个数相等上第六章二次型1.化二次型为标准形a)求出二次型矩阵的特征根和特征向量（取特征向量时有意使其正交，减少计算量）b)将重特征根正交化，将特征向量单位化，构成正交矩阵Qc)做变换x=Qy化二次型为标准形2.已知含参数的二次型及正交变换后的标准形，求参数a)利用特征方程相等来计算3.f正定的判定a)合同于单位矩阵Eb)可以写成A=D^T*D的形式c)全部特征值大于0d)全部顺序主子式大于0e)必要条件是主对角线元素都大于0f)正定的定义式：对于任意x，x^T*A*x0