圆的中考知识点及习题(附答案)

有关圆的知识点及习题1.圆的内容包括：圆的有关概念，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系。2.主要定理：（1）圆及其有关概念（B）（2）弧、弦、圆心角的关系，点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系（A）（3）圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征（A）（4）三角形的内心和外心（A）（5）切线的概念（A）（6）切线与过切点的半径之间的关系，判定一条直线是否为圆的切线，过圆上一点画圆的切线（C）（7）计算弧长及扇形的面积，计算圆锥的侧面积和全面积（C）圆的知识在中考中所占的比例大约为12%，分值为14分左右。题型多，有选择题、填空题、解答题，在开放型、创新型以及动态型问题上往往会出现圆的考题。典型例题：例1.已知梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD，⊙O的半径为4，AB＝6，CD＝2，求梯形ABCD的面积。例2.如图，已知AB为⊙O的直径，P是OB的中点，求tanC·tanD的值。例3.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD＝DC，分别延长BA、CD交于点E，BF⊥EC交EC的延长线于F，若EA＝AO，BC＝12，求CF的长。例4.如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点F、D，过D作⊙O的切线交FC于E，若AF=7，cosB=3/5，求CE的长。习题：1.如图10，⊙O的弦AD∥BC,过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F.(1)求证：DF垂直平分AC；（2）求证：FC＝CE；（3）若弦AD＝5㎝，AC＝8㎝，求⊙O的半径.2、如图8-1，已知O是锐角∠XAY的边AX上的动点，以点O为圆心、R为半径的圆与射线AY切于点B，交射线OX于点C．连结BC，作CD⊥BC，交AY于点D．(1)(3分)求证：△ABC∽△ACD；(2)(6分)若P是AY上一点，AP=4，且sinA=3/5，①如图8-2，当点D与点P重合时，求R的值；②当点D与点P不重合时，试求PD的长(用R表示)．3、如图，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，AB2=AF·AC，cos∠ABD=3/5，AD=12．⑴求证：△ANM≌△ENM；⑵求证：FB是⊙O的切线；⑶证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S．图8-2图8-14、如图，△ABC内接于⊙O，且∠B=60．过点C作圆的切线l与直径AD的延长线交于点E，AF⊥l，垂足为F，CG⊥AD，垂足为G．（1）求证：△ACF≌△ACG；（2）若AF=43，求图中阴影部分的面积．5、已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于F，C是弧AD的中点，连结BD并延长交EC的延长线于点G，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q．（1）求证：P是△ACQ的外心；（2）若tan∠ABC=3/4，CF=8,求CQ的长；（3）求证：（FP+PQ）2=FP*FG．6、已知：如图，A为⊙Ｏ直径CB延长线上一点，且AB=BO=OC，D为⌒BC的中点，CF垂直于割线ADE于F，CE=18，求EF。BDFAOGECl7、已知：如图，∠ACG=90°，AC=2，点B为CG上一个动点，连接AB，将△ACB沿AB所在直线翻折得到△ADB，过点D作DF⊥CG于点F。（1）当BC=（2√3）/3时，判断直线FD与以AB为直径的⊙O的位置关系，并加以证明；（2）如图，点B在CG上向点C运动，直线FD与AB为直径的⊙O交于D、H两点，连接AH。当∠BAC=∠BAD=∠DAH时，求BC的长。8、AB是⊙O的直径，点E是半圆上一动点（点E与点A、B都不重合），点C是BE延长线上的一点，且CD⊥AB，垂足为D，CD与AE交于点H，点H与点A不重合。（1）（5分）求证：△AHD∽△CBD（2）（4分）连HB，若CD=AB=2，求HD+HO的值。9、已知：如图AB为半圆O的直径，AP为过A的半圆的切线，在⌒AB上任取一点C（C不与A、B重合），过点C作半圆的切线CD交AP于点D；过点C作CE⊥AB，垂足为E，连接BD，交CE于点F。（1）如图，C为⌒AB中点时，求证CE=EF。（2）如图，当点C不是⌒AB的中点时，试判断CF与EF相等关系是否保持不变，并证明你的结论。AODBHEC有关圆的知识点答案例1分析：要求梯形面积必须先求梯形的高，即弦AB、CD间距离，为此要构造直角三角形利用勾股定理求高。为了便于运用垂径定理，故作OE⊥CD于E，延长EO交AB于F，证OF⊥AB。此题容易出现丢解的情况，要注意分情况讨论。解：分两种情况讨论：（1）当弦AB、CD分别在圆心O的两侧时，如图（1）：过O作OE⊥CD于E，延长EO交AB于F，连OC、OB，则CE＝DE∵AB∥CD，OE⊥CD∴OF⊥AB，即EF为梯形ABCD的高在Rt△OEC中，∵EC＝1，OC＝4∴OE=√(OC2-EC2)=√15同理，OF=√7∴EF=OE+OF=√15+√7，∴S梯形ABCD=(2+6)(√15+√7)/2=4（√15+√7）（2）当弦AB、CD在圆心O的同侧时，如图（2）：过O作OE⊥CD于E，交AB于F以下证法同（1），略。∴EF=√15-√7∴S梯形ABCD=（2+6）（√15-√7）/2=4（√15-√7）∴梯形ABCD的面积为4（√15+√7）或4（√15-√7）例2分析：为了求tanC·tanD的值，需要分别构造出含有∠C和∠D的两个直角三角形。而AB是直径，为我们寻找直角创造了条件。连BC、BD，则得到Rt△ACB和Rt△ADB。可以发现∠ACD＝∠ABD，∠ADC＝∠ABC，于是，可以把tanC·tanD转化为tan∠ABD*tan∠ABC=（AD/BD）×(AC/BC）=（AD/BD）×（AC/BC），则可求。解：连结BC、BD∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°∵∠ACD＝∠ABD，∠ADC＝∠ABC∴tanC·tanD=tan∠ABD*tan∠ABC=（AD/BD）×(AC/BC）=（AD/BD）×（AC/BC）作AE⊥CD于E，作BF⊥CD于F则△AEC∽△ADB∴AC·AD＝AE·AB同理，BD·BC＝BF·AB∴tanC·tanD=AE/BF∵△APE∽△BPF∴AE/BF=AP/BP∵P为半径OB的中点∴AP/BP=3/1∴AE/BF=3即tanC·tanD＝3例3分析：在Rt△CFB中，已知BC＝12，求CF，故可寻找与之相似的直角三角形，列比例式求解。解：连结OD，BD，∵AD=DC,∴∠ABC＝∠AOD∴OD∥BC∴OD/BC=EO/EB∵EA＝AO，∴EA＝AO＝BO∵BC=12，∴OD/12=2/3，∴OD=8∴AB＝16，BE＝24∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠EDA＝∠EBC。∵∠E是公共角，∴△EDA∽△EBC∴AD/BC=EA/EC=ED/EB设AD＝DC＝x，ED＝y，则有x/12=y/24=8/（x+y)，解得x=4√2∴AD=4√2∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠F＝90°。又∠DAB＝∠FCB，∴Rt△ADB∽Rt△CFB∴AD/CF=AB/BD，即（4√2）/CF=16/12∴CF=3√2说明：与圆有关的问题，大都与相似三角形联系在一起。此题运用了两次相似三角形，找到线段之间的关系，并且运用了方程的思想解几何问题，这是解几何问题的一种重要方法。例4解：连结FD∵AB是直径，∴AD⊥BC∵AB＝AC，∴BD＝DC，∠FAD＝∠DAB∵四边形ABDF是圆内接四边形∴∠CFD＝∠B∵∠C是公共角∴△ABC∽△DFC∴CD/AC=DF/AB∵AB＝AC∴CD＝DF（也可以证∠CFD＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠C＝∠CFD，∴CD＝DF。）∵DE切⊙O于D∴∠FAD＝∠EDF又∵∠CDE＋∠EDF＝∠FAD＋∠DAB∴∠CDE＝∠DAB∴∠CDE＝∠EDF∵CD＝FD∴CE＝EF，DE⊥CF∵cosB=3/5，∠B=∠C，∴cosC=3/5在Rt△ACD中，cosC=3/5∴设CD＝3x，AC＝5x。在Rt△CDE中，cosC=EC/CD,即3/5=EC/3x∴EC=9（x）/5∵AC=AF+2CE∴5x=7+(18x)/5x5∴EC＝9习题答案：1.证明：（1）∵DE是⊙O的切线，且DF过圆心O∴DF⊥DE又∵AC∥DE∴DF⊥AC∴DF垂直平分AC。（2）由（1）知：AG=GC又∵AD∥BC∴∠DAG=∠FCG又∵∠AGD=∠CGF∴△AGD≌△CGF（ASA）∴AD=FC∵AD∥BC且AC∥DE∴四边形ACED是平行四边形∴AD=CE∴FC=CE（3）连结AO；∵AG=GC，AC=8cm，∴AG=4cm在Rt△AGD中，由勾股定理得GD=AD2-AG2=52-42=3cm设圆的半径为r，则AO=r，OG=r-3,在Rt△AOG中，由勾股定理得AO2=OG2+AG2有：r2=(r-3)2+42解得r=256∴⊙O的半径为256cm.2、(1)由已知，CD⊥BC，∴∠ADC=90°–∠CBD，又∵⊙O切AY于点B，∴OB⊥AB，∴∠OBC=90°–∠CBD，∴∠ADC=∠OBC．又在⊙O中，OB=OC=R，∴∠OBC=∠ACB，∴∠ACB=∠ADC．又∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD．(2)由已知，sinA=3/5，又OB=OC=R，OB⊥AB，∴在Rt△AOB中，AO=OB/sinA=（5/3）R，AB=4/3R，∴AC=（5/3）R+R=（8/3）R．由(1)已证，△ABC∽△ACD，∴AC/AB=AD/AC，因此AD=(16/3)R．①当点D与点P重合时，AD=AP=4，∴（16/3）R=4，∴R=3/4．②当点D与点P不重合时，有以下两种可能：i)若点D在线段AP上(即0R3/4)，PD=AP–AD=4–（16/3）R；ii)若点D在射线PY上(即R3/4)，PD=AD–AP=（16/3）R–4．综上，当点D在线段AP上(即0R3/4)时，PD=4–（16/3）R；当点D在射线PY上(即R3/4)时，PD=（16/3）R–4．又当点D与点P重合(即R=3/4)时，PD=0，故在题设条件下，总有PD=|（16/3）R–4|(R0)．3、⑴证明：∵BC是⊙O的直径∴∠BAC=90o又∵EM⊥BC，BM平分∠ABC，∴AM=ME，∠AMN=EMN又∵MN=MN，∴△ANM≌△ENM⑵∵AB2=AF·AC∴AB/AC=AF/AB又∵∠BAC=∠FAB=90o∴△ABF∽△ACB∴∠ABF=∠C又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90o∴FB是⊙O的切线⑶由⑴得AN=EN，AM=EM，∠AMN=EMN，又∵AN∥ME，∴∠ANM=∠EMN，∴∠AMN=∠ANM，∴AN=AM，∴AM=ME=EN=AN∴四边形AMEN是菱形∵cos∠ABD=3/5，∠ADB=90o∴BD/AB=3/5设BD=3x，则AB=5x，，由勾股定理AD=4x而AD=12，∴x=3∴BD=9，AB=15∵MB平分∠AME，∴BE=AB=15∴DE=BE-BD=6∵ND∥ME，∴∠BND=∠BME，又∵∠NBD=∠MBE∴△BND∽△BME，则ND/ME=BD/BE设ME=x，则ND=12-x，（12-x）/x=9/15，解得x=15/2∴S=ME·DE=（15/2）×6=454、（1）如图，连结CD，OC，则∠ADC=∠B=60．∵AC⊥CD，CG⊥AD，∴∠ACG=∠ADC=60．由于∠ODC=60，OC=OD，∴△OCD为正三角形，得∠DCO=60．由OC⊥l，得∠ECD=30，∴∠ECG=30+30=60．进而∠ACF=180－2×60=60，∴△ACF≌△ACG．（2）在Rt△ACF中，∠ACF=60，AF=4√3，得CF=4．在Rt△OCG中，∠COG=60，CG=CF=4，得OC=8/√3。在Rt△CEO中，OE=16/√3．于是S阴影=S△CEO－S扇形COD=（OE